4.13. Прямые методы расчета цифровых фильтров

В предыдущих разделах были рассмотрены методы расчета цифровых фильтров, основанные на дискретизации фильтров непрерывного времени. Существуют также прямые методы расчета цифровых фильтров в частотной или временной областях, которые образуют вторую группу методов расчета цифровых фильтров. К ним относятся как методы расчета по заданному квадрату амплитудной характеристики, так и методы расчета во временной области. Ниже дается краткое описание прямых методов и рассматриваются возможности их применения.

1. Расчет по квадрату амплитудной характеристики

Обозначим -преобразование импульсной характеристики БИХ-фильтра через . Оно равно

Квадрат амплитудной характеристики фильтра легко найти следующим образом:

(4.130)

и записать как

или

(4.132)

Коэффициенты связаны с коэффициентами Выражение (4.132) часто записывают в несколько ином виде:

(4.133)

Таким образом, квадрат амплитудной характеристики всегда можно представить как отношение двух тригонометрических функций от частоты .

Выражение (4.133) является основой многих методов расчета цифровых фильтров по заданному квадрату амплитудной характеристики. Кроме того, с помощью этого выражения цифровой фильтр удается связать с аналоговым, квадрат амплитудной характеристики которого равен отношению полиномов по . Действительно, используя подстановку

(4.134)

можно выражение (4.133) привести к виду, характерному для передаточной функции аналогового фильтра.

Перепишем выражение (4.133) в упрощенной форме:

Здесь — рациональный полином порядка по тригонометрическим функциям. Соответствующий выбору функции позволяет получить цифровые фильтры различных типов, обладающие заданными амплитудными характеристиками. Так, фильтру нижних частот Баттерворта соответствует функция

где — частота среза фильтра. Для фильтра Чебыщева

(4.137)

где — полином Чебышева порядка, а — параметр пульсаций.

Можно показать, что цифровые фильтры Баттерворта и Чебышева, рассчитанные по квадрату амплитудной характеристики, достаточно просто связаны с фильтрами, полученными методом билинейного преобразования аналоговых фильтров Баттерворта и Чебышева, поэтому далее эти типы фильтров рассматриваться не будут.

Расчет БИХ-фильтров по заданному квадрату амплитудной характеристики можно легко распространить на некоторые другие типы фильтров, причем они необязательно должны быть фильтрами нижних частот. Применение рассматриваемого метода сопряжено с двумя трудностями. Во-первых, для построения фильтра с заданными свойствами необходимо подобрать подходящий рациональный полином . Во-вторых, функцию квадрата амплитудной характеристики приходится раскладывать на множители, чтобы найти ее полюсы и нули. Как правило, выполнить это разложение весьма непросто, что делает применение рассматриваемого метода расчета фильтра нежелательным.

2. Расчет БИХ-фильтров во временной области

Наряду с методами расчета фильтров, обладающих заданными частотными характеристиками, существуют методы расчета фильтров с заданными импульсными характеристиками. Пусть z-преобразование импульсной характеристики фильтра равно

(4.138)

причем требуется, чтобы импульсная характеристика аппроксимировала заданную последовательность в диапазоне . Используя различные предположения, Баррас и Парке, а также Брофи и Салазар и другие авторы показали, что можно найти такой набор коэффициентов , что

(4.139)

будет минимальной. Здесь — положительная весовая функция последовательности ошибки. Поскольку характеристика нелинейно зависит от параметров фильтра в общем случае задача минимизации может быть решена только методом последовательных приближений. В частном случае, когда искомые параметры фильтра, минимизирующие величину , можно найти, решив систему из линейных уравнений. Рассмотрим этот метод подробнее.

Для этого (считая, что ) представим импульсную характеристику фильтра в виде

В предположении, что при , решим систему уравнений вида (4.141) относительно коэффициентов что дает при . Решив систему уравнений вида (4.140) при определенных значениях найдем такие значения коэффициентов для которых при . Эта процедура сводится к приравниванию первых членов степенного разложения передаточной функции (4.138) z-преобразованию заданной импульсной характеристики фильтра g(k), усеченному за членом. Такой метод аппроксимации степенных рядов рациональной функцией часто называют аппроксимацией Падэ. При аппроксимации заданной импульсной характеристики цифрового фильтра путем воспроизведения ее первых отсчетов предполагается, что в целом импульсная и частотная характеристики получаемого в результате аппроксимации фильтра не будут существенно отличаться от заданных характеристик. Однако простого метода для нахождения хотя бы даже приближенно оценок отклонений любой из этих характеристик пока не существует. Приведем несколько конкретных примеров использования этого метода для расчета БИХ-фильтров (примеры взяты из статьи Брофи и Салазара).

На фиг. 4.36 и 4.37 представлены характеристики двух фильтров, рассчитанных с использованием аппроксимации Падэ, которые предназначены для работы в системах передачи данных. Кривая А на фиг. 4.36 представляет собой требуемую амплитудную характеристику полосового фильтра. Частота дискретизации в данном и последующем примерах равна 7200 Гц. Этот фильтр должен обладать следующими характеристиками: ослабление на 3 дБ на частотах 200 и 3200 Гц, размах пульсаций в полосе пропускания менее 0,25 дБ, линейные фазовые характеристики в полосе пропускания и крутизна спада в полосе непропускания не менее 12 дБ на октаву. Кривой Б представлена амплитудная характеристика фильтра 24-го порядка, рассчитанного методом аппроксимации Падэ. Наибольшая абсолютная величина ошибки отсчетов импульсной характеристики фильтра равна 0,0018. Фазовая характеристика рассчитанного фильтра приведена на фиг. 4.36 внизу.

Аналогичные кривые для полосового фильтра 10-го порядка, рассчитанного методом аппроксимации амплитудной характеристики в предположении, что она имеет спады косинусоидальной формы, представлены на фиг. 4.37.

Фиг. 4.36. Расчет полосового фильтра с использованием аппроксимации методом Падэ (по Брофи и Салазару).

Необходимо учитывать, что, так как при аппроксимации методом Падэ фильтр рассчитывается только во временной области, получающаяся при этом аппроксимация амплитудной характеристики в частотной области, как правило, не обеспечивает в полосе непропускания ослабления, превышающего 40 дБ.

Фиг. 4.37. Расчет полосового фильтра с использованием аппроксимации методом Падэ (по Брофи и Салазару).

Однако коэффициенты фильтра, найденные этим методом, часто можно использовать в качестве начальных значений при расчете БИХ-фильтров, обладающих заданными частотными свойствами, более сложными методами оптимизации. Эти методы будут рассмотрены в последующих разделах настоящей главы.