4.7. Билинейное z-преобразование

Достоинство первого из двух рассмотренных выше методов расчета цифрового фильтра по характеристикам аналогового фильтра, основанного на замене дифференциалов конечными разностями, заключалось в том, что z-преобразование импульсной характеристики цифрового фильтра элементарно получалось из преобразования Лапласа импульсной характеристики аналогового фильтра с помощью простой алгебраической подстановки. Недостатки же этого метода состояли в том, что ось  из -плоскости не отображалась, вообще говоря, в единичную окружность на z-плоскости, а устойчивый аналоговый фильтр (в случае использования прямых разностей) не всегда отображался в устойчивый цифровой фильтр.

Фиг. 4.9. Амплитудная и фазовая характеристики цифровых фильтров, рассчитанных методом инвариантного преобразования импульсной характеристики аналогового фильтра, представленного на фиг. 4.8.

Существует, однако, простое конформное отображение -плоскости в z-плоскость, свободное от этих недостатков и в то же время сохраняющее удобную алгебраическую форму преобразования. Оно называется билинейным преобразованием, использующим следующую замену:

                                    (4.59)

Характер этого преобразования проще всего понять, если обратиться к фиг. 4.10, где показано, каким образом s-плоскость отображается в z-плоскость. Видно, что вся ось  из -плоскости отображается в единичную окружность на z-плоскости; левая полуплоскость  отображается в единичный круг, а правая полуплоскость  — в область, расположенную вне единичного круга на -плоскости. Эти свойства легко проиллюстрировать, если из формулы (4.59) найти выражение для :

                                       (4.60)

При

.                                  (4.61)

Отсюда видно, что . При  имеем  и при , в промежутке  монотонно меняется от 0 до . Подставив в формулу (4.60) , получим:

                  (4.62)

Фиг. 4.10. Отображение -плоскости в -плоскость при билинейном преобразовании.

При  (для левой полуплоскости ) , т. е. точки располагаются внутри единичной окружности.

При билинейном преобразовании передаточная функция цифрового фильтра  рассчитывается с помощью алгебраической подстановки (4.59), т. е.

.                              (4.63)

Из этого соотношения видно, что порядки знаменателей функций  и совпадают, но порядки числителей могут отличаться. Действительно, передаточная функция

имеет числитель нулевого порядка, а знаменатель — первого порядка. В то же время получаемая методом билинейного преобразования функция  равна

где и числитель, и знаменатель первого порядка. Причиной этого является то, что функция  имеет нуль на бесконечности , который при билинейном преобразовании отображается в точку .

Фиг. 4.11. Соотношение между частотными шкалами аналогового и цифрового фильтров при билинейном преобразовании.

Так как в единичную окружность на -плоскости отображается вся ось  из -плоскости, то эффекты, связанные с наложениями в частотной характеристике цифрового фильтра, характерные для метода инвариантного преобразования импульсной характеристики, в данном случае будут отсутствовать. Однако соотношение между частотами аналогового фильтра  и цифрового фильтра  оказывается существенно нелинейным. Рассмотрим характер этой нелинейности, положив в (4.59)  и , что дает

,                             (4.64)

или

,                                                                   

откуда

,                                       

.                                (4.65)

Это соотношение представлено на фиг. 4.11 для случая . При небольших  отображение почти линейно, однако для основной части частотной шкалы оно существенно нелинейно и сильно ограничивает область применения билинейного преобразования. Действительно, амплитудная характеристика преобразуемого аналогового фильтра должна быть ступенчатообразной функцией частоты, так как в противном случае частотная характеристика цифрового фильтра будет представлять собой деформированную характеристику аналогового фильтра. По этой причине, например, билинейное преобразование нельзя использовать для преобразования аналогового дифференцирующего фильтра в цифровой дифференциатор. Существует, правда, довольно большой класс фильтров, для которых частотная деформация, описываемая соотношением (4.65), может быть скомпенсирована. К ним относятся фильтры нижних и верхних частот, полосовые и режекторные. Метод компенсации деформации достаточно прост (фиг. 4.12). Совокупность характерных частот среза цифрового фильтра известна. Пусть в данном случае их будет четыре:  (они показаны на фиг. 4.12 справа внизу). Используя нелинейное соотношение (4.65) между частотными шкалами цифрового и аналогового фильтров, пересчитаем все частоты среза цифрового фильтра в частоты среза аналогового фильтра, которые будут равны  (cm. на фиг. 4.12 вверху). Теперь рассчитаем аналоговый фильтр, все характерные частоты которого совпадали бы с этими пересчитанными частотами среза цифрового фильтра. Амплитудная характеристика такого аналогового фильтра изображена на фиг. 4.12 слева вверху. Выполнив билинейное преобразование зтого аналогового фильтра, получим цифровой фильтр, все частоты среза которого будут совпадать с заданными. Ниже в настоящей главе будут даны примеры расчета фильтров нижних и верхних частот методом билинейного преобразования.

Фиг. 4.12. Методика учета нелинейного искажения частотной шкалы при билинейном преобразовании.

Итак, билинейное преобразование обеспечивает простое отображение между аналоговыми и цифровыми фильтрами и является алгебраическим преобразованием, при котором ось  полностью отображается в единичную окружность на -плоскости. Кроме того, ему присуще свойство отображать физически реализуемый устойчивый аналоговый фильтр также в физически реализуемый и устойчивый цифровой фильтр. Более того, аналоговые широкополосные фильтры с резкими скатами могут быть отображены в широкополосные цифровые фильтры с резкими скатами без искажений частотной характеристики, связанных с наложениями, которые характерны для метода инвариантного преобразования импульсной характеристики. Недостаток метода билинейного преобразования заключается в том, что эффекты нелинейности соотношения между частотными шкалами аналогового и цифрового фильтров удается учесть лишь в том случае, когда частотная характеристика аналогового фильтра имеет вид ступенчатообразной функции. Кроме того, при билинейном преобразовании ни импульсная, ни фазовая характеристики аналогового и цифрового фильтров не будут совпадать.