2.7. Частотная характеристика

В предыдущих разделах рассматривался отклик ЛПП-систем на произвольные входные последовательности. В данном разделе для описания ЛПП-систем в частотной области будет использован специальный класс входных последовательностей, имеющих вид . Как будет показано, этот класс последовательностей является набором собственных функций ЛПП-систем дискретного времени, т. е. для них выходная последовательность совпадает с входной, умноженной на некоторый комплексный коэффициент, зависящий только от .

Рассмотрим класс входных последовательностей вида

                                (2.29)

Если такая последовательность поступает на вход ЛПП-системы с импульсной характеристикой , то на выходе [см. (2.11а)] появится последовательность

              (2.30)

        (2.31)

                             (2.32)

Таким образом, для выбранного класса входных последовательностей отклик совпадает с входной последовательностью с точностью до комплексного множителя , который выражается через импульсную характеристику системы следующим образом:

     (2.33)

Поскольку последовательность вида  функционально эквивалентна дискретизованной синусоиде с частотой , то множитель  называют частотной характеристикой системы, так как он представляет коэффициент передачи ЛПП-системы для каждого значения .

Фиг. 2.9. Импульсная и частотная характеристики системы первого порядка.

Вычислим в качестве примера частотную характеристику ЛПП-системы с импульсной характеристикой . Частотная характеристика имеет вид

 (2.34)

Так как , то сумма геометрической прогрессии (2.34) будет равна

                                                   (2.35)

На фиг. 2.9 графически представлены , а также модуль и фаза  как функции частоты  в диапазоне .

Отметим некоторые свойства частотной характеристики. Нетрудно заметить, что частотная характеристика является периодической функцией , причем ее период равен . Эта периодичность связана со спецификой дискретизованного колебания: входная последовательность с частотой  не отличается от входной последовательности с частотой , т. е.

              (2.36)

Поскольку  — периодическая функция, то для полного описания достаточно задать ее на любом интервале длиной . Обычно для этой цели используют интервал .

Другим важным свойством частотной характеристики является то, что для действительных  (как обычно и бывает на практике) модуль  симметричен, а фаза  антисимметрична на интервале . Аналогично действительная часть  симметрична, а мнимая — антисимметрична на том же интервале. Поэтому при действительных импульсных характеристиках интервал частот, на котором задают частотную характеристику, обычно сокращают до .