5.21. Шум округления при построении нерекурсивных фильтров в каскадной форме

При построении КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой в каскадной форме наибольшее значение начинают приобретать вопросы масштабирования и упорядочения размещения блоков, связанные с максимизацией отношения сигнал/шум на выходе фильтра. Передаточную функцию фильтра при каскадной форме его построения можно представить в виде

(5.76)

где . Для фильтров с линейной фазовой характеристикой коэффициенты входящие в формулу (5.76), должны удовлетворять одному из двух условий: либо

(5.77а)

либо существует такое , при котором

На фиг. 5.27 изображена схема построения блока фильтра с передаточной функцией (5.76). Из этой схемы и условия (5.77а) видно, что в каждом блоке могут быть два или три умножителя, поэтому в шумовой модели блока к его выходу подключаются источников шума (причем или 3) или же один источник с дисперсией .

Фиг. 5.27. Элементарный блок при построении КИХ-фильтра в каскадной форме с линейной фазовой характеристикой.

Величину можно понизить до 1, если все произведения складывать до округления, но так как при этом снижается быстродействие фильтра, то обычно такой вариант схемы не используется.

Если определить , передаточную функцию части фильтра от (i+1)-го блока до выхода, как

и обозначить обратное z-преобразование от через , то шум округления для каскадной формы фильтра можно представить с помощью шумовой модели, изображенной на фиг. 5.28, а и б. Дисперсия выходного шума определяется соотношением

Как и в рекурсивных системах, для предотвращения переполнений между блоками необходимо ввести масштабирующие умножители. Если передаточную функцию [см. (5.76)] представить в виде

где — масштабирующий коэффициент для i-ro блока, а — нормированная передаточная функция вида

Фиг. 5.28. Шумовая модель для каскадной формы построения КИХ-фильтра.

причем , а

то

Если значение р задано, то коэффициентов можно выбрать произвольным образом. Пусть

а входная последовательность ограничена по модулю величиной 1,0. При этом выходные последовательности каждого из блоков будут ограничены по модулю величиной 1,0 тогда и только тогда, когда масштабирующие коэффициенты удовлетворяют условию

С другой стороны, если для спектра входного сигнала выполняется соотношение

то необходимым и достаточным условием ограниченности модулей сигналов на выходах всех блоков является неравенство

Если для выбора масштабирующих коэффициентов используется формула (5.86) со знаком равенства, то соответствующая методика масштабирования называется масштабированием по сумме; при использовании формулы (5.88) также со знаком равенства ее называют масштабированием по максимуму. Как уже упоминалось, для рекурсивных БИХ-фильтров масштабирование по сумме является избыточным. Для КИХ-фильтров ситуация меняется, поскольку ограничения, накладываемые на входной сигнал с целью получения равенства в формуле для масштабирующих коэффициентов, уже не являются чересчур жесткими, ибо они относятся к конечному интервалу. Так, чтобы сигнал на выходе первого блока достиг уровня 1,0, необходимо, чтобы во входном сигнале всего лишь три последовательных отсчета равнялись 1,0.

Итак, независимо от выбранного правила масштабирования, остается только определить порядок размещения блоков, при котором шум округления на выходе будет минимальным. Как и в случае рекурсивных каскадных фильтров, невозможно проанализировать все возможные комбинации размещения блоков. Тем не менее экспериментально было показано, что удачным является такой порядок, при котором максимальное значение передаточной функции участка фильтра от блока до выхода невелико и при переходе от блока к блоку изменяется незначительно. Кроме того, показано, что для подавляющего большинства вариантов размещения блоков дисперсия выходного шума получается небольшой. Простой алгоритм упорядочения блоков, основанный на практическом опыте проектирования фильтров, формулируется следующим образом:

Начиная с , в качестве блока выбирать тот, для которого с учетом ранее выбранных блоков сумма получается наименьшей [напомним, что — импульсная характеристика участка фильтра от блока до выхода].

С помощью этого алгоритма минимизируются дисперсии составляющих выходного шума, возникающих в отдельных блоках, а не дисперсия полного шума. Однако варианты расположения блоков, дающие малые значения дисперсии выходного шума, встречаются с большой вероятностью, поэтому при всех испытаниях варианты расположения блоков, соответствующие приведенному алгоритму, давали результаты, близкие к оптимальному.

Итак, при проектировании КИХ-фильтров в каскадной форме необходимо выбрать правило масштабирования (выше были сформулированы два таких правила), а затем с помощью предложенного алгоритма найти последовательность расположения блоков, при которой минимизируется дисперсия шума на выходе фильтра. После определения порядка расположения блоков и значений масштабирующих коэффициентов нетрудно вычислить дисперсию выходного шума и величину отношения сигнал/шум для рассчитанного фильтра.