4.8. Согласованное z-преобразование

Четвертый метод дискретизации аналоговых фильтров, называемый согласованным -преобразованием, основан на непосредственном отображении полюсов и нулей из -плоскости в полюсы и нули на -плоскости. При таком отображении полюс (или нуль) в точке  плоскости  отображается в полюс (или нуль) в точке  плоскости , где  — период дискретизации. Таким образом, при согласованном z-преобразовании отображающая замена будет иметь вид

                                      (4.66)

Фиг. 4.13. Расположение полюсов и нулей в s-плоскости и амплитудная характеристика аналогового фильтра.

Если полюсы (или нули) комплексные, то (4.66) можно переписать следующим образом:

     (4.67)

Необходимо отметить, что полюсы цифрового фильтра, рассчитываемого методом согласованного -преобразования аналогового фильтра, оказываются идентичными полюсам, получаемым при инвариантном преобразовании импульсной характеристики того же аналогового фильтра, однако нули существенно различаются. Необходимо также учитывать, что для использования метода согласованного -преобразования передаточная функция  аналогового фильтра должна быть разложена на множители.

Метод согласованного -преобразования довольно прост в использовании, однако во многих случаях он неприменим. Так, если центральные частоты аналогового фильтра, соответствующие его нулям, превышают половину частоты дискретизации, то положение нулей цифрового фильтра будет существенно искажено эффектом наложения. Покажем это на примере передаточной функции

с нулями в точках  и полюсами в точках . Расположение нулей и полюсов этой функции в -плоскости, а также амплитудная характеристика (в логарифмическом масштабе) представлены на фиг. 4.13. Пусть . Используя согласованное -преобразование, получим следующее выражение для передаточной функции цифрового фильтра:

.

Фиг. 4.14. Расположение полюсов и нулей в z-плоскости и амплитудная характеристика цифрового фильтра, рассчитанного методом согласованного z-преобразования  полюсов и нулей аналогового фильтра, представленного на фиг. 4.13.

Полюсы этой функции расположены в точках с полярными координатами  нули — в точках с координатами . Приближенное положение полюсов и нулей в -плоскости и амплитудная характеристика цифрового фильтра показаны на фиг. 4.14. Видно, что при использовании согласованного -преобразования из-за эффекта наложения нули аналогового фильтра из области верхних смещаются в область нижних частот для цифрового фильтра.

Согласованное -преобразование неприменимо также в случае, когда передаточная функция аналогового фильтра имеет только полюсы. Передаточная функция цифрового фильтра также будет иметь только полюсы, но во многих случаях она не будет соответствовать исходному аналоговому фильтру. Считается, что несколько лучшие результаты можно получить, искусственно введя в цифровой фильтр нули в точке , однако эту меру даже в лучшем случае следует рассматривать лишь как временную. Вообще использование инвариантного преобразования импульсной характеристики или билинейного преобразования предпочтительнее использования согласованного z-преобразования.