3.18. Решение задачи оптимизации

Чтобы найти оптимальные значения незаданных частотных отсчетов, нужно составить и решить систему уравнений, математически описывающих задачу оптимизации. Вместо того чтобы сразу рассматривать эту задачу в общем виде, запишем необходимые уравнения для простого примера, а затем полученные результаты обобщим на произвольный случай.

На фиг. 3.28 иллюстрируется типичный способ задания фильтра при расчете его методом частотной выборки. Частотная характеристика фильтра задана в полосах 1 и 2 и не задана в переходной полосе между ними. Сплошной кривой на фиг. 3.28 представлена заданная частотная характеристика , а точками отмечены частотные отсчеты. Обозначим для удобства частотные отсчеты в переходной полосе через  и . Именно эти отсчеты необходимо оптимизировать.

На фиг. 3.28 показана только половина частотных отсчетов, так как, чтобы импульсная характеристика фильтра была действительной, последовательность частотных отсчетов  должна иметь относительно своего центра комплексно сопряженную симметрию. Кроме того, чтобы фильтр обладал строго линейной фазовой характеристикой, на значения  накладываются дополнительные ограничения. Каковы именно эти дополнительные ограничения, будет рассмотрено в разд. 3.21 и 3.22. Пока предположим, что  можно выразить в виде

  (3.67)

                                 (3.68)

где  — результирующая частотная интерполирующая функция, а  равно числу частотных отсчетов, которые

Фиг. 3.28. Задание фильтра при расчете его методом частотной выборки.

требуется определить. Из формул (3.67) и (3.68) следует, что

                (3.69)

Ниже при составлении уравнений будет использована действительная функция  поскольку множитель с линейным изменением фазы в (3.68) при проектировании фильтра можно не учитывать.

Для примера на фиг. 3.28 функцию  можно представить в более простой форме

           (3.70)

Здесь  учитывает вклад в  всех задаваемых частотных отсчетов, a  и  — вклады от двух незаданных частотных отсчетов с амплитудами  и .

Чтобы найти эти незаданные частотные отсчеты, необходимо для частот в пределах полос 1 и 2 составить систему ограничивающих уравнений. Типичными ограничениями для такой системы уравнений могут быть следующие:

1.  для  в полосе 1.

2. Минимизируется максимум  для  в полосе 2 подбором  и .

Здесь  — заданная погрешность. Другой способ задания ограничений заключается в следующем:

Минимизируется максимум  в полосах 1 и 2 подбором  и .

Здесь — известная весовая функция ошибки аппроксимации частотной характеристики.

Приведенные ограничения могут быть формализованы, если с помощью соотношения (3.70) записать каждое из этих ограничений для большого числа частот в пределах заданного диапазона. Так, например, из первой системы ограничений вытекают следующие неравенства:

где  представляет максимум ошибки аппроксимации в полосе 2. Полученная система неравенств имеет вид, пригодный для решения методами линейного программирования. Аналогично для второй системы ограничений можно записать вторую систему неравенств относительно переменных ,  и . В общем случае, когда частотная характеристика задана на нескольких участках, разделенных переходными полосами, в которых частотные отсчеты не задаются, можно составить систему линейных неравенств относительно этих неизвестных частотных отсчетов и решить ее методами линейного программирования. Поскольку метод линейного программирования в этой главе встретится еще не один раз, следующий раздел будет посвящен краткому рассмотрению этого мощного математического аппарата для решения систем линейных неравенств. Итак, при расчете фильтров методом частотной выборки используются лишь те коэффициенты ДПФ импульсной характеристики фильтра (образующие частотную выборку), которые находятся в интересующих нас полосах, а остальные коэффициенты ДПФ, попадающие в переходные полосы, считаются незаданными. Относительно этих неизвестных коэффициентов составляется система линейных неравенств, описывающая ограничения, накладываемые на частотную характеристику. Решая эту систему методами линейного программирования, получают значения незаданных частотных отсчетов.