3.37. Характеристики оптимальных преобразователей Гильберта

Идеальная частотная характеристика оптимальных КИХ-преобразователей Гильберта описывается выражением

        (3.151)

где  — нижняя, a  — верхняя частоты среза полосы, в которой фильтр аппроксимирует идеальную частотную характеристику преобразователя Гильберта. Как и при расчете дифференциаторов, для аппроксимации характеристики (3.151) используются фильтры вида 3 или 4. Для минимизации максимума ошибки характеристики фильтра используется весовая функция . Для фильтров вида 3 величина  должна быть меньше 0,5, тогда как для фильтров вида 4 величина  может достигать 0,5. Однако величина  всегда должна быть больше 0, поскольку для фильтров обоих видов  при .

Для фильтров вида 3 оказалось целесообразным выбирать , поскольку в этом случае результирующая частотная характеристика оказывается симметричной относительно частоты  в результате чего каждый второй отсчет импульсной характеристики преобразователя Гильберта в точности равен нулю. Это легко показать следующим образом. Если частотная характеристика симметрична относительно , то

          .                                              (3.152)

Для фильтров вида 3 соотношение (3.152) принимает вид

,

или

,

откуда следует, что

              (3.153)

что и требовалось доказать. Выражение (3.153) означает, что при прямой форме построения преобразователя Гильберта вида 3 с одинаковыми верхней и нижней переходными полосами на каждый входной отсчет требуется только  умножений, тогда как при использовании фильтра вида 4 требуется  умножений на отсчет (даже при одинаковых верхней и нижней переходных полосах). Это объясняется тем, что частотная характеристика фильтров вида 4 не может быть симметричной (характеристика равна нулю при  и отлична от нуля при ). Таким образом, можно считать, что с точки зрения объема вычислений преобразователи Гильберта вида 3 в два раза эффективнее преобразователей Гильберта вида 4. Остается показать, что это преимущество преобразователей вида 3 можно использовать для уменьшения максимума ошибки аппроксимации по сравнению с преобразователями вида 4. Этот подход к проектированию преобразователей будет обсуждаться в данном разделе позже.

На фиг. 3.74—3.77 приведены частотные характеристики нескольких КИХ-преобразователей Гильберта. На фиг. 3.74 изображены импульсная и амплитудная характеристики, а также функция ошибки аппроксимации преобразователя Гильберта с  и . Поскольку верхняя и нижняя переходные полосы имеют равную ширину, каждый второй коэффициент импульсной характеристики равен нулю. Максимум ошибки аппроксимации этого преобразователя равен 0,008094, а кривая ошибки имеет, как было показано ранее, равновеликие пульсации. На фиг. 3.75 представлены те же характеристики преобразователя Гильберта с  и .

Фиг. 3.74. Характеристики оптимального преобразователя Гильберта.

Как уже было отмечено, даже при одинаковой ширине верхней и нижней переходных полос все коэффициенты импульсной характеристики отличны от нуля из-за отсутствия симметрии в частотной характеристике фильтров вида 4. Как видно из фиг. 3.75, б, амплитудная характеристика имеет в диапазоне  произвольный вид, поэтому ее значения здесь нельзя предсказать. Из фиг. 3.75, в видно, что кривая ошибки опять имеет равновеликие пульсации в полосе аппроксимации, но максимум ошибки аппроксимации в этом случае равен 0,007175.

Фиг. 3.75. Характеристики оптимального преобразователя Гильберта.

На фиг. 3.76 и 3.77 иллюстрируются случаи, когда верхняя и нижняя переходные полосы выбираются неодинаковыми. На фиг. 3.76 приведены характеристики трех преобразователей Гильберта с  и следующими частотами среза: a)  и ; б)  и ; в)  и . Максимумы ошибок аппроксимации равны 0,266551, 0,260817 и 0,260737 соответственно. Таким образом, даже при изменении одной из частот среза в пять раз (т. е. от 0,02 до 0,10) максимум ошибки меняется всего на 2%. Более того, из фиг. 3.76, б и в видно, что амплитудная характеристика имеет значительный нежелательный пик в широкой переходной полосе. Кроме того, неравных переходных полосах частотная характеристика не симметрична и все коэффициенты импульсной характеристики не равны нулю. Итак, незначительное уменьшение максимума ошибки за счет использования неравных переходных полос не компенсирует нежелательных эффектов в амплитудной и импульсной характеристиках. Более того, из приведенного и других аналогичных примеров видно, что в случае, когда импульсная характеристика содержит нечетное количество отсчетов, максимум ошибки аппроксимации определяется главным образом меньшей из двух переходных полос.

Фиг. 3.76. Характеристики оптимальных преобразователей Гильберта.

На фиг. 3.77 приведены аналогичные характеристики преобразователей Гильберта с неравными переходными полосами, но для четного . Верхняя и нижняя частоты среза этих преобразователей равны: a) , ; б) , , в) , . Соответствующие им максимумы ошибки аппроксимации равны 0,247920, 0,232594 и 0,248561. В примере на фиг. 3.77, б (где верхняя переходная полоса в пять раз больше нижней) амплитудная характеристика опять имеет значительный пик в области верхней переходной полосы. Максимум ошибки аппроксимации для этого случая примерно на 6% меньше, чем при равных переходных полосах. Таким образом, незначительное уменьшение максимума ошибки не компенсирует появления нежелательного пика в частотной характеристике. С другой стороны, из фиг. 3.77, в следует, что если ширина верхней переходной полосы равна нулю, т. е. если , то максимум ошибки почти не меняется. Из этих и других примеров видно, что максимум ошибки аппроксимации почти полностью определяется шириной нижней переходной полосы (из-за того, что характеристика равна нулю при . Таким образом, для минимизации пика в верхней переходной полосе ее ширину следует выбирать меньше ширины нижней переходной полосы (или равную ей).

Фиг. 3.77. Характеристики оптимальных преобразователей Гильберта.

Фиг. 3.78. Зависимость ошибки аппроксимации от N для оптимальных преобразователей Гильберта.

Фиг. 3.79. Зависимость ошибки аппроксимации от ∆F для оптимальных преобразователей Гильберта.

Основными параметрами преобразователя Гильберта являются  и  — максимум ошибки аппроксимации (или пульсация) фильтра. Если положить, что , т. е. что верхняя и нижняя переходные полосы равны, то можно задавать только три параметра: ,  и . На фиг. 3.78 и 3.79 приведены результаты большого числа измерений  как функции  и . На фиг. 3.78 представлены графики зависимости величины  от  при ; 0,02; 0,05 и 0,1 для четных и нечетных  в диапазоне . В масштабе фиг. 3.78 кривые для четных и нечетных  при одной и той же ширине переходных полос практически неразличимы, поэтому они изображены одной кривой. Из этих кривых видно, что максимум ошибки уменьшается с увеличением  тем быстрее, чем шире переходная полоса преобразователя Гильберта. Так, при  величина  уменьшается приблизительно лишь на 42 дБ при изменении  от 3 до 128, тогда как при величина  уменьшается приблизительно на 112 дБ при изменении  от 3 до 76.

Из фиг. 3.79, где приведены кривые зависимости величины  от  для четных и нечетных , а именно для , видно, что, когда  стремится к нулю  стремится к 0 дБ, т. е. максимум ошибки аппроксимации стремится к 1 независимо от величины . Кроме того, максимум ошибки уменьшается тем быстрее с увеличением ширины переходной полосы преобразователя Гильберта, чем больше величина .

Таким образом, для того чтобы рассчитать наиболее эффективный КИХ-преобразователь Гильберта (т. е. получить заданную величину ошибки аппроксимации, используя наименьшее число умножений на отсчет), следует выбирать как можно более широкую переходную полосу и использовать импульсную характеристику, содержащую нечетное число коэффициентов. Например, чтобы получить максимум ошибки меньше 1% (), нужно использовать следующие значения  (в функции ):

Ниже приведены значения , которые требуются для обеспечения максимума ошибки менее 0,1%

Приведенные таблицы указывают на существенное преимущество в реализации преобразователей Гильберта с нечетным  и симметричной частотной характеристикой.