3.23. Некоторые самые общие результаты расчета фильтров методом частотной выборки
1. Фильтры нижних частот
Метод
частотной выборки можно использовать для расчета широко класса фильтров.
На фиг. 3.31—3.33 представлено несколько типичных фильтров нижних частот,
рассчитанных этим методом.
Фиг. 3.31. Частотная характеристика фильтра нижних
частот, рассчитанного методом частотной выборки.
Фиг. 3.32. Частотная характеристика узкополосного
фильтра нижних частот, рассчитанного методом частотной выборки.
Фиг. 3.33. Частотная характеристика широкополосного
фильтра нижних частот, рассчитанного методом частотной выборки.
Фиг. 3.34. Значения частотных отсчетов в переходной
полосе для широкого класса фильтров нижних частот, рассчитанных методом
частотной выборки.
Критерий
оптимизации во всех приводимых примерах состоял в минимизации максимума
пульсаций в полосе непропускания. Фиг. 3.31 соответствует фильтру вида 1 с
частотной выборкой (
) и с тремя
подбираемыми частотными отсчетами в переходной полосе. Максимум пульсаций в
полосе непропускания составляет около 0,05. На фиг. 3.32 показана
характеристика узкополосного фильтра нижних частот (
) с частотой
среза, равной 0,0306. Здесь подбираются три отсчета в переходной полосе;
максимум пульсаций в полосе непропускания близок к 0,00002 (или — 93 дБ). На
фиг. 3.33 изображена характеристика широкополосного фильтра нижних частот (
) с частотой
среза, равной 0,4355. Здесь также подбираются три частотных отсчета; в
результате максимум пульсаций в полосе непропускания составляет около 0,000002
(или —115 дБ).
В
общем случае при проектировании фильтров нижних частот с одним подбираемым
отсчетом в переходной полосе (с минимизацией максимума пульсаций в полосе
непропускания) можно достичь подавления вне полосы пропускания от 44 до 54 дБ.
Фиг. 3.35. Ослабление в полосе непропускания для широкого
класса фильтров нижних частот, рассчитанных методом частотной выборки.
С
двумя подбираемыми отсчетами в переходной полосе можно достичь подавления от 65
до 75 дБ, а возможное подавление при трех подбираемых отсчетах в переходной
полосе составляет 85—95 дБ. На фиг. 3.34 и 3.35 приведены значения трех
отсчетов в переходной полосе и максимума пульсаций для фильтров вида 2 при
различных 
в функции полосы
пропускания фильтра. Интересно отметить, что как для узкополосных, так и для
широкополосных фильтров результаты обычно лучше (т. е. подавление в
полосе непропускания сильнее), чем для фильтров со средними значениями полос
пропускания. Это можно объяснить следующим образом. При малой ширине
нормализованной полосы приходится подавлять очень маленькие пульсации, поэтому
отсчеты в переходной полосе обеспечивают отличное подавление этих пульсаций.
При большой величине нормализованной полосы остается очень небольшая часть
диапазона частот, в котором приходится подавлять пульсации, поэтому отсчеты в
переходной полосе вновь обеспечат эффективное подавление в полосе
непропускания.
Фиг. 3.36. Частотная характеристика полосового
фильтра, рассчитанного методом частотной выборки.
2. Полосовые фильтры
Полосовые
фильтры можно рассчитывать практически так же, как фильтры нижних частот. На
фиг. 3.36 изображена характеристика полосового фильтра вида 1 (
) с тремя
подбираемыми частотными отсчетами, расположенными симметрично по обе стороны
от полосы пропускания. Максимум пульсаций в полосе непропускания составляет
около 0,000025 (или —91 дБ), а огибающая пульсаций спадает до уровня 
(или до уровня
—120 дБ) на нулевой частоте и частоте, равной половине частоты дискретизации.
Фиг. 3.37. Характеристики идеального дифференциатора
с задержкой на половину интервала дискретизации, полученного последовательным
соединением идеального дифференциатора и идеальной схемы задержки на половину интервала
дискретизации.
Фиг. 3.38. Характеристики 16-точечного
дифференциатора.
3. Широкополосные дифференциаторы
Широкополосные
дифференциаторы используются во многих системах. Амплитудная, фазовая и
эквивалентная мнимая характеристики идеального дифференциатора показаны на
фиг. 3.37. При 
мнимая
часть частотной характеристики имеет разрыв. При аппроксимации этот разрыв не
может занимать нулевую полосу, т. е. вблизи должна располагаться переходная полоса.
Соединяя последовательно идеальный широкополосный дифференциатор с идеальной
схемой задержки на половину интервала дискретизации, можно устранить разрыв
частотной характеристики дифференциатора при (фиг. 3.37). В центре на фиг. 3.37
изображены амплитудная и фазовая характеристики идеальной схемы задержки на
половину интервала дискретизации, внизу представлены результирующие
характеристики последовательно соединенных идеального широкополосного
дифференциатора и идеальной схемы задержки на половину интервала дискретизации.
Видно, что при уже
нет разрыва фазы, поэтому здесь больше не нужна переходная полоса. На частоте 
есть скачок фазы на
радиан,
но в этой точке амплитудная характеристика равна нулю. Таким образом,
аппроксимация широкополосных дифференциаторов осуществляется весьма просто с
использованием КИХ-фильтров, для которых при четном числе отсчетов в импульсной
характеристике легко получить задержку на половину интервала дискретизации.
Характеристики
двух типичных дифференциаторов, рассчитанных описанным способом, изображены на
фиг. 3.38 и 3.39 для 
и . При максимум модуля ошибки
составляет ~ 0,015 (ошибка фазы, конечно, равна нулю), тогда как при максимум модуля
ошибки составляет ~ 0,0008.
Фиг. 3.39. Характеристики 256-точечного
дифференциатора.
