9.14. Методы генерации гауссовых случайных чисел
Методы
генерации случайных чисел, описанные в предыдущем разделе, позволяют получить
последовательности только с равномерным распределением. Однако довольно часто
требуются последовательности псевдослучайных чисел с гауссовым распределением.
По-видимому, проще всего для их генерации воспользоваться центральной
предельной теоремой, согласно которой распределение суммы 
одинаково
распределенных независимых случайных величин стремится к нормальному, когда
стремится
к бесконечности. Поэтому последовательность независимых равномерно
распределенных чисел 
можно преобразовать в последовательность
чисел с гауссовым распределением 
, используя следующее правило:
(9.6)
Здесь
должно
быть достаточно большим. Во всех встречающихся на практике случаях достаточно
хорошее приближение к гауссову распределению обеспечивается при порядка
10. Это видно из фиг. 9.32, где представлена измеренная гистограмма, причем
случайные числа формировались по схеме фиг. 9.30 
при 
. Видно, что
экспериментальные результаты хорошо согласуются с теоретической кривой,
соответствующей нормальному распределению.
Фиг.
9.32. Гистограмма генератора чисел с нормальным распределением (Количество
слагаемых = 12, размер выборки =49 984, среднее = —33,69, дисперсия = 4262,36.)
Одна
из разновидностей рассматриваемого метода, предложенная Рэйдером, состоит в
том, что последовательность из 
независимых
равномерно распределенных случайных величин преобразуется с помощью матрицы
Адамара в новую последовательность из некоррелированных
случайных величин с гауссовым распределением. Каждая из гауссовых величин была
получена путем суммирования (вычитания)
чисел
с равномерным распределением. Поэтому при 
наблюдалось
достаточно хорошее приближение к нормальному распределению. Такой подход весьма
эффективен, поскольку по величинам
с равномерным распределением сразу получаются нормальных
случайных величин, а не 
, как
при использовании формулы (9.6). Правда, выходные отсчеты уже не будут
независимыми, хотя с помощью простой модификации можно добиться того, что они
станут почти независимыми.
Существует
прямой метод преобразования пары равномерно распределенных случайных величин в
пару нормальных случайных величин. Если обозначить последовательность
равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных величин через и определить 
как
,
(9.7)
то
будет
иметь релеевское распределение, т. е.
.
(9.8)
Если затем
сформировать две новые случайные величины 
и 
согласно
формулам
,
(9.9)
,
(9.10)
то обе новые
величины будут иметь нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией,
равной 
.
Более того, и
оказываются
при этом некоррелированными, что для нормальных величин эквивалентно их
независимости. Хотя описанный метод и дает на практике хорошие результаты, он
связан с довольно большими затратами времени, поскольку приходится вычислять
логарифмы, квадратные корни, синусы и косинусы, так что для генерации большого
массива нормальных случайных величин его стараются не использовать.
ЛИТЕРАТУРА
1. Jackson L.B ., Kaiser
J. F., McDonald H. S., An Approach to the Implementation of Digital Filters,
IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, 16, No. 3,
413-421 (Sept.
1968).
2. Hightly J. D., Partitioning of
Digital Filters for Integrated-Circuit Realization, IEEE Trans, on
Communication Tech., COM-19, 1059—1063 (Dec. 4971).
3. Freeny S. L., Kieburtz R. А., Mina K. V.,
Tewksbury S. K., Design of Digital Filters for an All Digital Frequency
Division Multiplex-Time Division Multiplex Translator, IEEE Trans. Circuit
Theory,
CT-18,
702—
711 (Nov.
1971).
4. Freeny S. L., Kieburtz R. B., Mina K. V.,
Tewksbury S. K., Systems Analysis of a TDM-FDM Translator/Digital A-Type
Channel Bank, IEEE Trans, on Communication Tech., COM-19, 1050—1059
(Dec.
1971).
5. Kurth C. F., SSB/FDM Utilizing TDM
Digital Filters, IEEE Trans, on Communication Tech., COM-19, 1,
63—70 (Feb.
1971).
6. Tierney J., Rader C. M.,
Gold B.,
A
Digital Frequency Synthesizer, IEEE Trans, on Audio and Electro acoustics,
19,
No.
1,
48—58 (1971); есть русский перевод: Тирней Дж, Рэйдер Ч., Голд Б., Цифровой синтезатор частот, Зарубежная радиоэлектроника, № 3,
57—73 (1972).
7. Perry J. L., Schafer R. W., Rabiner L. R., A Digital Hardware
Realization of a Random Number Generator, IEEE Trans, on Audio and Electro
acoustics, AU-20, No. 4, 236-240 (Oct.
1972).
8. Green B. F., Smith J. E., Klem L.,
Empirical Tests of an Additive Random Number Generator, /. -4ssn
Computer Machinery, 6, No. 4,
527—537 (Oct.
1959).
9. MacLaren M. D., Marsaglia G., Uniform
Random Number Generators, J. Assn. Computer Machinery, 12,
83—89 (1965).
10. Rader C. M.,
Rabiner L. R., Schafer R. W., A Fast Method of Generating Digital Random
Numbers, Bell. Syst. Tech. J.,
49,
2303—2310 (Nov.
1970).
11. Rader C. M., A
New Method of Generating Gaussian Random Variables by Computer, Lincoln
Laboratory Technical Note, 1969-49, 1969.
