3.6. Расположение нулей КИХ-фильтров с линейной фазой

Расположение нулей КИХ-фильтров с линейной фазой сильно ограничено характером симметрии их импульсной характеристики. Координаты нулей таких фильтров легко найти, используя z-преобразования импульсных характеристик, равные

                  (3.36)

где знаки  и  соответствуют симметричной и антисимметричной импульсным характеристикам. Перепишем выражение (3.36) в виде

         (3.37)

Заменив здесь  на , получим

         (3.38)

Сопоставление формул (3.37) и (3.38) показывает, что

                            (3.39)

Из соотношения (3.39) следует, что с точностью до задержки на  отсчетов и множителя  и  идентичны. Таким образом, нули  идентичны нулям . Пусть  имеет комплексный нуль в точке , причем . Тогда, согласно (3.39), функция  должна иметь также зеркально отраженный нуль в точке . Поскольку импульсная характеристика фильтра действительная, каждый комплексный нуль  образует с другим нулем комплексно сопряженную пару. Таким образом, если  имеет комплексный нуль, не лежащий на единичной окружности  и на действительной оси , то  содержит по крайней мере один базовый множитель вида

        (3.40)

или

   (3.41)

Положение нулей такого базового блока показано на фиг. 3.5, а соответствующая ему импульсная характеристика — на фиг. 3.6.

Фиг. 3.5. Положение нулей для фильтров с линейной фазовой характеристикой.

Выражение (3.41) было получено для случая . При  (но ) нуль находится на единичной окружности, а соответствующий ему комплексно сопряженный нуль является его зеркальным отображением. Таким образом, нули функции , лежащие на единичной окружности, являются одновременно нулями функции  на той же окружности. Для таких нулей базовый множитель равен

       (3.42)

Если , или , нули становятся действительными. Они не образуют комплексно сопряженных пар, поэтому базовый множитель для этого случая будет равен

            (3.43)

Здесь знак  соответствует , а знак  соответствует .

Фиг. 3.6. Импульсная характеристика базового блока с нулями, изображенными на фиг. 3.5.

Фиг. 3.7. Положение нулей типичных фильтров с линейной фазовой характеристикой.

Наконец, при  и  (или ) нули будут находиться в точке  или в точке . В этих случаях оба комплексно сопряженных нуля совпадают друг с другом и со своими зеркальными отображениями. Базовый множитель для этих случаев равен

                         (3.44)

Множители вида (3.44) имеют важное значение, поскольку с их помощью описываются цепи с задержками па половину интервала дискретизации. Следовательно, фильтр с четной длиной импульсной характеристики  должен иметь нечетное число множителей вида (3.44), тогда как фильтр с нечетным  — четное число таких множителей (либо ни одного).

На фиг. 3.7 иллюстрируется типичное расположение нулей КИХ-фильтров с линейной фазой для каждого из четырех видов фильтров, рассмотренных в разд. 3.5. Показанное расположение нулей соответствует выводам настоящего раздела.