6.12. Некоторые характеристики спектрального анализа
Двумя наиболее важными характеристиками спектрального анализа являются:
1) количество частот, на которых желательно измерить спектр;
2) «разрешающая способность» измерения спектра.
Для анализа обеих характеристик лучше всего использовать отмеченную выше эквивалентность между спектральным измерением и фильтрацией.
Чтобы показать, какие факторы влияют на параметры спектрального анализа, рассмотрим пример, представленный на фиг. 6.15, в, когда необходимо найти спектр сигнала в 16 точках, равномерно распределенных по единичной окружности. Пусть число N отсчетов сигнала, используемых при измерении спектра, равно 16. Спектральный анализ, удовлетворяющий этим условиям, может быть выполнен двумя эквивалентными способами: либо с помощью 16-точечного БПФ, либо с помощью гребенки из 16 фильтров. Импульсная характеристика 
фильтра, обеспечивающего измерение спектра в точке 
равна
так что ее z-преобразование имеет вид
Фиг. 6.18. Гребенка фильтров, эквивалентная скользящему БПФ с размером, равным (а), большим (б) и меньшим (в) требуемого числа спектральных отсчетов.
Вычислив значения 
на единичной окружности, получим
На фиг. 6.18, а изображены графики функций 
для случая, соответствующего фиг. 6.15, в, т. е. для 16 точек, равномерно распределенных на единичной окружности. Частотные характеристики фильтров с четными номерами к показаны на фиг. 6.18, а вверху, а с нечетными значениями к — на фиг. 6.18, а внизу. Чтобы избежать путаницы, для всех фильтров, за исключением 8-го, изображены лишь главные лепестки. Видно, что скользящее ВПФ эквивалентно довольно грубому набору фильтров с относительно большими боковыми лепестками и существенным перекрытием между соседними фильтрами.
Предположим теперь, что число отсчетов сигнала L больше числа спектральных отсчетов N. Пусть, например, L = 32 в 
.
Самый простой способ выполнения таких спектральных измерений состоит в том, что вычисляется 32-точечное скользящее БПФ и просто отбрасываются измерения, соответствующие фильтрам, следующим через один. В результате получится набор фильтров с характеристиками, изображенными на фиг. 6.18, б.
Пусть N = 16, но имеется только L = 8 отсчетов сигнала. В зтом случае спектр можно найти, добавив к L отсчетам сигнала N — L нулевых отсчетов, так чтобы общее число преобразуемых отсчетов равнялось количеству спектральных отсчетов, и затем вычислив L-точечное БПФ. Результирующие частотные характеристики фильтров для случая L = 8, N = 16 приведены на фиг. 6.18, в. Число каналов эквивалентной гребенки фильтров осталось прежним, но каждый фильтр стал шире. Таким образом, главное изменение частотной характеристики состоит в ухудшении разрешающей способности по частоте.
Метод выполнения анализа при L = 2N становится очевидным, «ели обратиться к направленному графу БПФ (см., например, фиг. 6.14). Видно, что выходные отсчеты с четными номерами располагаются в верхней половине графа. Это означает, что в алгоритме БПФ, предназначенном для получения только четных отсчетов спектра, достаточно лишь частично обработать все L отсчетов, чтобы получить верхнюю половину выходных отсчетов первого этапа БПФ. Как видно из фиг. 6.14, только эта половина отсчетов дает все четные коэффициенты ДПФ. Этот подход можно развивать дальше, отметив, например, что восемь верхних выходных коэффициентов дают каждый четвертый коэффициент ДПФ, причем их можно определить, выполнив половину операций на первом этапе, половину — на втором, а также восьмиточечное БПФ полученных на втором этапе восьми отсчетов. Пусть в общем случае число отсчетов сигнала L равно
где N — требуемое число спектральных отсчетов, а М — целое число, большее единицы. Искомое преобразование равно 
Из этой формулы следует, что фактически при вычислении спектра производится предварительное суммирование входных отсчетов, равноотстоящих друг от друга на N точек, после чего вычисляется ДПФ образованной новой последовательности. Смысл зтой ожерации становится понятным, если вспомнить, что дискретизация в частотной области (ее и нужно было получить в данном случае) соответствует наложению во временной области, которое описывается формулой (6.48).
