5.22. Шум округления в рекурсивных структурах с плавающей запятой
В этом разделе рассматриваются рекурсивные фильтры, в которых используется система счисления с плавающей запятой. В таких устройствах, как уже было показано, шум округления, величина которого пропорциональна результату операции, образуется и при умножении, и при сложении. Обозначим число 
в системе счисления с плавающей запятой символом 
, введенным Лиу и Канеко. Таким образом, умножение и сложение двух чисел производятся по следующим правилам:
где 
и 
— случайные числа, равномерно распределенные на интервале 
соответственно (если мантисса содержит 
разрядов) и не зависящие от х и у. В системе второго порядка, описываемой разностным уравнением
фактически вычисляется величина
причем сначала вычисляются произведения 
, а эатем они складываются, что дает 
. Последовательность вычислений показана на фиг. 5.29. Предполагается, что ошибки округления при отдельных операциях являются взаимно независимыми случайными величинами.
Фиг. 5.29. Квантование в системе второго порядка с плавающей запятой.
Таким образом, соотношение (5.91) можно переписать в виде
где
Для расчета характеристик шума округления следует проанализировать сигнал ошибки 
.
Рассмотрим, например, фильтр, реализованный в прямой форме и описываемый разностным уравнением
Направленный граф, соответствующий такому фильтру 
порядка, изображен на фиг. 5.30. Уравнение (5.94) можно преобразовать к виду
где
Фиг. 5.30. Квантование в системе N-го порядка с плавающей занятой (по Лиу и Канеко).
Определить статистические свойства шума округления путем непосредственного анализа уравнения (5.95) весьма трудно, так как в него входят случайные коэффициенты 
изменяющиеся во времени. Задача может быть решена с помощью ряда подстановок, в которых фигурируют средние значения случайных коэффициентов. Подробности использования этих подстановок описаны Лиу и Канеко, и приводить их здесь было бы нецелесообразно, так как сами вычисления спектральной плотности мощности выходного шума мало поясняют свойства фильтров. Читателям, интересующимся данным вопросом, можно порекомендовать статью Лиу и Канеко, в которой приведены характеристики шума квантования для трех наиболее распространенных форм построения фильтров с плавающей запятой и округлением: прямой, параллельной и каскадной.
