5.16. Упорядочение размещения блоков и попарный подбор нулей и полюсов блоков при построении фильтра в каскадной форме

Из формулы (5.57) видно, что дисперсия выходного шума зависит от порядка, в котором включены М блоков, образующих фильтр, а также от способа попарного подбора нулей и полюсов передаточных функций отдельных блоков. При анализе формул для норм выходного шума округления в пространстве можно заметить, что каждый член этих формул соответствует шуму, создаваемому в одном из блоков фильтра. В каждом из этих членов используются нормы как в , так и в . Это означает, что требования к масштабированию в данном блоке определяют все предшествующие блоки (поэтому появляется норма в ), а последующие блоки фильтруют возникающий в нем шум округления (поэтому появляется норма в ). Таким образом, в двух наиболее важных случаях (когда ) различие между фильтрами с неодинаковой последовательностью включения М блоков связано с различием норм в пространствах . Норма в пространстве определяется наибольшими значениями ее аргумента, так что можно ожидать, что наиболее удачным будет такое упорядочение блоков, при котором функции, являющиеся аргументами норм в пространстве , не будут иметь больших выбросов.

Поэтому блоки следует располагать в порядке убывания (если ) или возрастания (если ) этих выбросов.

Разумной мерой уровня выбросов (по Джексону) является отношение

Таким образом, если , то блоки должны располагаться в порядке убывания значений . Если же , то блоки следует располагать в порядке возрастания .

Фиг. 5.23. Попарная группировка нулей и полюсов двух различных фильтров (по Джексону).

Если или , то при расчете выходного шума используется только одна норма. В этих случаях можно считать, что наилучшее упорядочение блоков должно получаться при увеличении р, - по мере возрастания номера блока, хотя влияние порядка размещения блоков здесь выражено не столь заметно, как в других случаях.

Остался нерассмотренным вопрос о попарном подборе нулей и полюсов отдельных блоков. Поскольку в формулах для выходного шума округления слагаемые числителя фигурируют только в отношениях вида , то целесообразно минимизировать норму этих отношений в , т. е. минимизировать . Во многих случаях это правило приводит к объединению в пары полюсов с ближайшими к ним нулями в z-плоскости. На фиг. 5.23, а и б показана такая попарная группировка нулей и полюсов для полосового и режекторного фильтров шестого порядка.