7.4. Физическая реализуемость. Разделимость. Устойчивость

Двумерный фильтр называют физически реализуемым, если его импульсная характеристика удовлетворяет условию

Фильтр называют разделимым, если его импульсную характеристику можно представить в виде произведения двух одномерных функций, т. е.

Если условие (7.11) не выполняется, фильтр называют неразделимым. Достоинством разделимых фильтров является то, что для них двумерную свертку (7.8) можно вычислить путем последовательного нахождения одномерных сверток. Это нетрудно показать, переписав соотношение (7.8) в виде

(7.13)

где — последовательность одномерных сверток, получаемых в процессе нахождения сумм в квадратных скобках формулы (7.13), которые соответствуют фиксированным Из формулы (7.14) следует, что выходную последовательность можно получить, двукратно выполняя операции одномерной свертки.

Легко понять, что если разделимыми являются как импульсная характеристика так и входная последовательность то и выходная последовательность также будет разделимой. В этом случае с учетом соотношений (7.8) и (7.11) получим

где

Двумерные фильтры являются устойчивыми (для них все элементы выходной последовательности будут ограничены, если были ограничены все элементы входной последовательности) тогда и только тогда, когда их импульсные характеристики удовлетворяют условию

Можно показать, что, как и в одномерном случае, условие устойчивости (7.18) является и необходимым, и достаточным.

Одна из трудностей, связанных с использованием условия устойчивости (7.18), заключается в сложности нахождения суммы при произвольных . В связи с этим желательны и даже необходимы другие методы количественной оценки устойчивости, которые будут рассмотрены в последующих разделах данной главы.