5.2. Аналого-цифровое преобразование

Одним из наиболее важных способов формирования последовательности является дискретизация непрерывного колебания. Устройство, предназначенное для преобразования непрерывного колебания в последовательность отсчетов, каждый из которых является аппроксимацией соответствующего отсчета входного колебания, называется аналого-цифровым преобразователем (АЦП). На фиг. 5.1 приведена блок-схема АЦП, работу которого можно представить в виде двухэтапного процесса. На первом этапе формируется последовательность в которой отсчеты представлены с неограниченной точностью. На втором этапе значение каждого отсчета представляется числом, состоящим из конечного числа двоичных разрядов. В результате получается новая последовательность . В реальных АЦП обе операции выполняются совместно, т. е. имеется единый блок, на вход которого поступает колебание s(t), а на выходе формируется последовательность . Разность называется шумом квантования или шумом аналого-цифрового преобразования.

Фиг. 5.1. Блок-схема аналого-цифрового преобразователя.

Как было отмечено в гл. 2, полоса входного колебания должна быть ограничена, так как иначе последовательность не будет однозначно представлять s(t). Поэтому аналого-цифровому преобразователю обычно предшествует аналоговый фильтр нижних частот. Желательно, чтобы в полосе сигнала характеристика фильтра имела минимальные пульсации, а подавление составляющих с частотой, превышающей половину частоты дискретизации, составляло не менее 40 дБ. Опыт показывает, что для обработки речевых сигналов достаточно использовать фильтр восьмого порядка (с крутизной спада характеристики 48 дБ на октаву).

В зависимости от особенностей метода квантования последовательности шум квантования может иметь то или иное амплитудное распределение. Если наименьший шаг квантования равен Q, то взаимосвязь между для случая округления будет описываться характеристикой фиг. 5.2.

Фиг. 5.2. Характеристика квантователя при использовании округления.

Поскольку число уровней квантования конечно, все отсчеты, выходящие за максимальный () ИЛИ минимальный () уровень, округляются до этих значений. Обычно такого ограничения сигнала сверху и снизу стараются избежать путем соответствующего выбора шага квантования Q и уровня входного аналогового сигнала. Из фиг. 5.2 видно, что сигнал ошибки удовлетворяет (за исключением случаев превышения предельных уровней) сотношению

при любых n. Используя достаточно общие предположения, можно показать, что распределение сигнала ошибки является равномерным. На фиг. 5.3 представлен график плотности вероятности ошибки квантования при округлении.

На фиг. 5.4 процесс округления в АЦП иллюстрируется на примере дискретизации аналогового синусоидального колебания s(t). В нижней части фиг. 5.4 представлены (в увеличенном масштабе) ошибки квантования каждого из отсчетов. Как и ожидалось, последовательность, представляющая ошибку, имеет случайный характер.

При получении отсчетов могут быть использованы и другие способы квантования. Так, при усечении в качестве отсчета сигнала используется ближайший меньший уровень квантования.

Фиг. 5.3. Плотность вероятности ошибки квантования при округлении.

Фиг. 5.4. Ошибка квантования синусоидального сигнала.

Фиг. 5.5. Характеристика квантователя при использовании усечения.

Фиг. 5.6. Плотность вероятности ошибки усечения.

На фиг. 5.5 графически представлено соотношение между при усечении. Поскольку результат усечения равен результату округления, уменьшенному на половину шага квантования, то график плотности вероятности сигнала ошибки будет таким, как показано на фиг. 5.6.

Из фиг. 5.3 и 5.6 видно, что ошибка квантования имеет среднее значение, равное нулю при округлении и при усечении, а ее дисперсия в обоих случаях равна .

При цифровой обработке сигналов часто применяется еще один способ квантования, называемый усечением при представлении отсчетов в прямом коде (с использованием величины и знака). При положительных значениях отсчетов сигнала этот способ идентичен усечению. Отрицательные же отсчеты заменяются на ближайший больший уровень квантования. Таким образом, в зависимости от знака используется либо распределение ошибки квантования, представленное на фиг. 5.6, либо его зеркальное отображение.

Фиг. 5.7. Линейная модель учета шума квантования в ЛПП-системе.

При этом среднее значение ошибки квантования будет равно нулю, но дисперсия ошибки будет равна , т. е. вчетверо больше, чем при усечении или округлении. С учетом приведенных статистических характеристик из всех возможных методов квантования на практике предпочитают использовать округление.

Получив общее представление о механизме аналого-цифрового преобразования и о распределении шума квантования, можно сделать вывод, что каждый отсчет квантованного сигнала на входе цифровой системы с импульсной характеристикой равен сумме неквантованного отсчета и ошибки квантования (фиг. 5.7). Пользуясь свойством линейности системы, можно прохождение последовательностей рассматривать независимо, а выходную последовательность представить в виде

(предполагается, что обработка выполняется с неограниченной точностью). Таким способом можно найти сигнал и шум на выходе фильтра и вычислить отношение сигнал/шум после обработки. Конечно, обработка в цифровом фильтре производится с конечной точностью, так что сказанное выше нужно уточнять. Тем не менее представление квантованного сигнала в виде суммы неквантованного сигнала и шума квантования является одним из важнейших приемов при изучении эффектов конечной разрядности чисел.

Прежде чем перейти к анализу различных систем счисления, используемых при построении цифровых фильтров, целесообразно подчеркнуть одно важное положение, относящееся к шуму квантования в АЦП. Любые аналоговые сигналы всегда сопровождаются шумом того или иного вида, т. е. обрабатываемая реализация имеет конечное отношение сигнал/шум. Например, при передаче речевого сигнала по обычной телефонной линии отношение сигнал/шум составляет около 36 дБ, так что никакое увеличение разрядности не позволит получить в дискретизованном сигнале отношение сигнал/шум, большее, чем в исходном аналоговом сигнале. Действительно, если шаг квантования Q значительно меньше амплитуды сигнала, младшие разряды отсчетов последовательности будут всего лишь более точно описывать шум, сопровождающий аналоговый сигнал.

Отсюда следует, что увеличение числа разрядов АЦП сверх некоторой величины приводит лишь к увеличению точности представления входного аналогового шума. Итак, разрядность АЦП определяется характером преобразуемого сигнала.