2.20. Структурные схемы фильтров без полюсов
В
важном частном случае знаменатель дроби (2.103) может быть постоянным (для
простоты приравняем его к единице). При этом разностное уравнение, описывающее
систему, становится нерекурсивным, т. е. текущее значение отклика 
зависит только от
текущего и конечного числа предшествующих значений входной последовательности.
В этом случае правую часть (2.103) обычно преобразуют таким образом, чтобы
выразить 
непосредственно
через импульсную характеристику фильтра:
(2.120)
Здесь
верхний предел суммирования заменен на 
, чтобы уравнение описывало физически
реализуемый фильтр, длина импульсной характеристики которого равна 
отсчетам. Разностное уравнение,
соответствующее выражению (2.120), имеет вид
(2.121)
т.
е. является нерекурсивным уравнением. Для построения фильтров с конечными
импульсными характеристиками рассматриваемого типа обычно применяют несколько
структурных схем. Чаще всего используют прямую форму, описанную в разд. 2.19.
Для данного частного случая существует только одна прямая форма (фиг. 2.23).
Из-за сходства этой структуры с линией задержки с отводами ее часто называют
фильтром с многоотводной линией задержки (или иногда трансверсальным
фильтром). Ниже будет показано, что аппаратурная реализация структуры,
показанной на фиг. 2.23, довольно проста. Для нее требуются только один
умножитель, один накапливающий сумматор и два блока циркулирующей памяти на
регистрах сдвига.
Фиг. 2.23. Прямая форма фильтра с конечной
импульсной характеристикой.
При
построении фильтров, не имеющих полюсов, весьма удобной оказывается и
последовательная структура. В этом случае z-преобразование
импульсной характеристики фильтра (2.120) представляется в виде произведения z-преобразований,
соответствующих системам первого и второго порядка, т. е.
(2.122)
где
(система второго порядка)
или
(система первого порядка),
причем
равно
целой части 
.
Для
построения фильтров без полюсов довольно часто применяют еще несколько
структур, которые не имеют аналогов с фильтрами общего вида, содержащими и
нули, и полюсы. Наиболее распространенная из них основана на так называемом
методе быстрой свертки, когда свертка вычисляется с помощью обратного преобразования
Фурье от произведения преобразований Фурье входнойпоследовательности и
импульсной характеристики системы. В последующих разделах этот метод будет
рассмотрен более подробно.
Применяя
для представления полиномиальной передаточной функции (2.120) классические
интерполяционные формулы, можно получить другие структурные схемы реализации
этой функции. Например, при использовании интерполяционной формулы JIaгранжа
(2.123)
где
(2.124)
причем
массив 
,
образован произвольными
точками на z-плоскости, в
которых вычислены значения 
z-преобразования
(2.120), используемые при расчете коэффициентов (2.124). Как следует из
формулы (2.123), полученная структура состоит из последовательно соединенных
блоков первого порядка (имеющих нули в точках 
),
последовательно к которым подключена группа из параллельно
соединенных блоков первого порядка (они имеют полюсы в точках ). Структурная
схема, реализующая формулу (2.123), изображена на фиг. 2.24.
Нетрудно
показать, что эта структура позволяет реализовать любое z-преобразование
вида (2.120). Прежде всего каждый
из полюсов параллельно соединенных блоков структуры компенсирует один из нулей
последовательно соединенных блоков, что дает эквивалентный фильтр с нулями. Далее,
значение в каждой из
точек 
равно заданной величине . Так как является многочленом -й степени, то он
полностью определяется своими значениями в различных точках. Следовательно, выражения
(2.123) и (2.120) полностью эквивалентны.
Фиг. 2.24. Структурная схема Лагранжа общего вида.
Следует
отметить, что с точки зрения числа элементов задержки структура Лагранжа не
является канонической, так как в ней используется 
элементов задержки (по 
в параллельной и
последовательной частях структуры). Важность данной и аналогичных структур
определяется теми частными случаями, в которых они применяются (см. ниже). При
изучении чувствительности характеристик структуры фиг. 2.24 к ограничению
точности представления коэффициентов фильтра выявляются ее дополнительные преимущества.
Важным
является частный случай структуры Лагранжа, когда последовательность состоит из точек, равномерно
распределенных по единичной окружности, т. е.
(2.125)
При
этом член правой части (2.123), содержащий произведения, имеет вид
(2.126)
а
равенство (2.124) превращается в
(2.127)
Справедливость
соотношения (2.126) подтверждается тем, что корни уравнения 
совпадают с главными значениями корня -й степени из
единицы, т. е. с числами, выбранными согласно условию (2.125). Равенство
(2.127) получается путем подстановки условия (2.125) в формулу (2.124), что
дает
Получаемая
при условии (2.125) структурная схема фильтра (фиг. 2.25) описывается z-преобразованием
(2.128)
Она
называется структурой на основе частотной выборки, поскольку коэффициенты
фильтра равны отсчетам передаточной функции фильтра 
, взятым в точках, равномерно
распределенных по единичной окружности.
Фиг. 2.25. Структура фильтра с частотной выборкой.
Структура
с частотной выборкой имеет несколько интересных свойств. Так, при выполнении в
параллельной части структуры арифметических операций с конечной точностью
полностью скомпенсировать нули, сгруппированные в (2.128) в члене 
, с помощью
полюсов не удается. Поэтому в итоге фильтр будет иметь и нули, и полюсы, а
длина его импульсной характеристики станет неограниченной. Значение данной
структуры состоит в том, что она позволяет весьма эффективно создавать фильтры,
у которых большинство коэффициентов для умножителей 
равно нулю. Цепи, для
которых 
,
можно отбросить. Так, например, для узкополосного фильтра, у которого отличны
от нуля лишь несколько коэффициентов, структура оказывается весьма эффективной.
В ней для получения одного выходного отсчета достаточно выполнить небольшое
число умножений.
Применяя
другие интерполяционные формулы, можно
получить и другие структуры фильтров без полюсов. Так, например, можно
получить структуры Ньютона, Эрмита, Тэйлора и т. д. Поскольку преимущества и
недостатки таких структур изучены еще недостаточно, в настоящей книге они
рассматриваться не будут.
