2.18. Геометрическая интерпретация преобразования Фурье

Выше было отмечено [см. формулу (2.69)], что z-преобразование последовательности всегда может быть записано в виде дроби, числитель которой равен произведению членов, описывающих нули , а знаменатель — произведению членов, представляющих полюсы z-преобразования , т. е.

                                      (2.99)

Преобразование Фурье последовательности (или передаточную функцию системы) можно получить, вычисляя  на единичной окружности, т. е. при . Таким образом,

                           (2.100)

Фиг. 2.17. Геометрическая интерпретация измерения частотной характеристики.

Записав комплексную функцию  как , найдем

                                       (2.101)

    (2.102)

Геометрическая интерпретация соотношений (2.100) — (2.102) дана на фиг. 2.17. Из точки, находящейся на единичной окружности, во все нули и полюсы проведены векторы. По их величине определяется модуль передаточной функции на заданной частоте , а по их углам — фаза. В примере на фиг. 2.17 имеются три полюса и два нуля , а коэффициент  равняется 1, поэтому (фиг. 2.17)

Для определения передаточной функции на всех частотах  необходима перемещать  по единичной окружности против часовой стрелки из точки  до точки .