2.19. Построение цифровых фильтров (структурные схемы фильтров)

Цифровые фильтры с заданной передаточной функцией можно построить различными способами. В любом реальном цифровом фильтре шумы и погрешности, появляющиеся при квантовании (см. гл. 5), существенно зависят от структуры фильтра. Прежде всего все фильтры можно разделить на два больших класса: рекурсивные и нерекурсивные. Для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью  и откликом фильтра  может быть записано следующим образом:

т. е. текущий отсчет отклика  определяется не только текущим и предшествующими значениями входной последовательности, но и предшествующими отсчетами отклика. В нерекурсивных фильтрах связь между входной последовательностью и откликом имеет вид

т. е. текущий отсчет отклика зависит от текущего и предшествующих значений входной последовательности. В данном и следующем разделах приведено несколько возможных способов построения цифровых фильтров.

Как уже отмечалось, z-преобразование, соответствующее цифровому фильтру, можно выразить в виде дробно-рационального полинома от переменной , т. е.

                                   (2.103)

причем

(Предполагается, что степени числителя и знаменателя одинаковы.) Приведя равенство (2.103) к общему знаменателю, получим

                     (2.104)

или

                                                (2.105)

Фиг. 2.18. Прямая форма 1.

Если рассматривать члены вида  как обратные z-преобразования последовательностей , то, взяв обратные z-преобразования обеих частей равенства (2.105), можно получить искомое разностное уравнение

                           (2.106)

Поскольку , уравнение (2.106) можно решить относительно :

                            (2.107)

Простая структура реализации данного разностного уравнения показана на фиг. 2.18. Она носит название прямой формы 1. В ней для образования цепей, соответствующих числителю и знаменателю формулы (2.103), используются раздельные элементы задержки. Характерными чертами этой структуры являются ее простота и непосредственная связь с z-преобразованием. Однако, как показано в гл. 5, если полюсы  расположены близко друг от друга или от единичной окружности, как это имеет место для частотно-избирательных фильтров, то при использовании фильтров данной структуры возникает трудноразрешимая проблема чувствительности характеристик фильтра к погрешностям коэффициентов. По этой причине в большинстве практических случаев прямую форму 1 стараются не применять.

Если записать формулу (2.103) в несколько ином виде, а именно как

                 (2.108)

то можно получить другую структуру цифрового фильтра. Цифровой фильтр, соответствующий формуле (2.108), состоит из двух последовательно соединенных фильтров с коэффициентами передачи соответственно  и . Первый из фильтров имеет только полюсы, а второй — только нули. Если записать

          (2.109)

и

     (2.110)

то получается пара разностных уравнений (в предположении, что )

                            (2.111)

                                 (2.112)

которые можно реализовать, как показано на фиг. 2.19. Поскольку в цепях, соответствующих  и , сигнал  задерживается одинаково, то для построения фильтра достаточно использовать один набор элементов задержки (фиг. 2.20). Такую структуру называют прямой формой 2 или канонической формой, так как в ней используется минимальное количество сумматоров, умножителей и элементов задержки. (Некоторые другие схемы также обладают этим свойством, поэтому называть структуру фиг. 2.20 канонической но рекомендуется.)

Фиг. 2.19. Прямая форма 2 (неканоническая).

Фиг. 2.20. Прямая форма 2.

Прямая форма 2 имеет такие же достоинства и недостатки, как и прямая форма 1; они будут рассмотрены позднее. Записав формулу (2.103) в виде

                                               (2.113)

получим третью структуру построения цифрового фильтра. Множители  соответствуют либо блокам второго порядка, т. е.

                (2.114)

либо блокам первого порядка, т. е.

                             (2.115)

Фиг. 2.21. Последовательная (каскадная) форма.

а  равно целой части числа . Схему, реализующую формулу (2.113), называют каскадной (или последовательной) формой (фиг. 2.21). Каждый из блоков второго порядка, образующих последовательную форму, можно реализовать в прямой форме 1 или в прямой форме 2. Использование блоков второго порядка (и, возможно, одного блока первого порядка) при построении фильтра определяется тем, что для получения комплексного полюса или нуля фильтр с действительными коэффициентами должен включать блок второго порядка. Поскольку не все нули и полюсы комплексные, то некоторые авторы предпочитают описывать последовательную структуру с помощью z-преобразования вида

                                             (2.116)

где  соответствует системе первого порядка, определяемой формулой (2.115), a  — системе второго порядка, определяемой равенством (2.114). Величина  равна наибольшему числу комплексных нулей или полюсов, a .

При проектировании последовательностей структуры, как правило, бывает трудно решить, какие полюсы с какими нулями нужно объединять в пары. Еще более сложной задачей является выбор последовательности, в которой располагаются отдельные блоки первого и второго порядка. Если, например, передаточная функция имеет вид

то одной из возможных последовательных форм является

где в пары объединены  и ,  и ,  и ,  и ,  и .Эта запись означает, что блок  включен первым, за ним следуют блоки , ,  и, наконец, . В предположении неограниченной точности представления всех переменных порядок блоков и способ группирования нулей с полюсами не имеют значения. Однако для реальных устройств эти вопросы имеют весьма важное значение. Более подробно они рассмотрены в гл. 5. Еще одна трудность, связанная с особенностями последовательной формы, состоит в необходимости введения масштабирующих множителей между отдельными блоками. Эти множители не позволяют переменным фильтра принимать слишком большие или слишком малые значения. Вопросы масштабирования также будут рассмотрены в гл. 5.

Четвертую структурную схему цифрового фильтра можно получить, разложив правую часть формулы (2.103) на простые дроби:

                                              (2.117)

где слагаемые  соответствуют или блокам второго порядка

                     (2.118)

или блокам первого порядка

причем  равно целой части от , и, как следует из формулы (2.103), . На фиг. 2.22 приведена структурная схема, реализующая соотношение (2.117). Ее называют параллельной формой. Блоки первого и второго порядка, описываемые формулами (2.118) и (2.119), строятся по схеме одной из рассмотренных выше прямых форм.

Фиг. 2.22. Параллельная форма.

Хотя рассмотренные структурные схемы фильтров не исчерпывают всех возможных структур, при моделировании на ЦВМ и аппаратурной реализации фильтров они применяются наиболее часто. Другие структуры можно получить множеством способов. Так, например, можно построить параллельно-последовательную структуру, в которой часть передаточной функции реализуется в параллельной форме, а остальная часть — в последовательной. Кроме того, для всех рассмотренных структур можно получить обращенные схемы, изменив направление прохождения всех сигналов (т. е. направив все стрелки на схемах в обратную сторону) и поменяв местами точки разветвления с точками суммирования сигналов. Полученные таким образом структуры будут иметь те же передаточные функции, но в них будут по-иному проявляться эффекты конечной разрядности чисел.

Выбор наилучшей из этих многочисленных структурных схем как при аппаратурной реализации, так и при моделировании на ЦВМ определяется экономическими соображениями. Последние в свою очередь зависят от свойств структур при ограниченной точности представления переменных и коэффициентов фильтров. Дальнейшее рассмотрение этого вопроса отнесено в гл. 5.