3.28. Решение нелинейных уравнений для КИХ-фильтров с максимумом пульсаций

В разд. 3.27 было показано, что число частот, на которых функция  может иметь экстремумы, строго зависит от вида импульсной характеристики проектируемого фильтра с линейной фазой. Значение  в каждом экстремуме определяется весовой функцией  заданной частотной характеристикой  и величиной , представляющей максимум ошибки аппроксимации. Распределив частоты экстремумов  по частотным диапазонам, в которых решается задача аппроксимации, и потребовав, чтобы характеристика результирующего фильтра имела максимальное число экстремальных частот, можно получить единственный оптимальный фильтр. Поскольку функция ошибки аппроксимации фильтров этого типа имеет максимальное число колебаний, или пульсаций, эти фильтры получили название фильтров с максимумом пульсаций. Фильтры нижних частот этого типа называются также фильтрами с дополнительной пульсацией, поскольку они имеют только на одну пульсацию больше минимального числа пульсаций, обеспечивающего оптимальность.

Метод получения системы нелинейных уравнений, описывающих фильтр с максимумом пульсаций, состоит в следующем (он был первоначально предложен Херманом и Шуслером). На каждой из  неизвестных экстремальных частот ошибка  достигает максимального значения, равного ±, причем производная от , или, что то же самое, от , равна нулю. Таким образом, получаем  уравнений вида

Эти уравнения образуют систему из 2 нелинейных уравнений с 2 неизвестными [включающими  коэффициентов импульсной характеристики и  частот, на которых  имеет экстремумы]. Систему из 2 уравнений можно решить методом последовательных приближений, используя процедуру нелинейной оптимизации, такую, как, например, хорошо известный алгоритм Флетчера—Пауэлла.

Относительно этой процедуры следует сделать два замечания. Во-первых, величина  (т. е. максимум ошибки) имеет фиксированное значение и не минимизируется при оптимизации фильтра. Таким образом, форма  задана заранее, и лишь частоты, на которых  достигает экстремальных значений, неизвестны. Во-вторых, в процедуре оптимизации не учитываются границы различных полос фильтра. Таким образом, алгоритм оптимизации не работает в определенных диапазонах частот, так что не требуется точно указывать, где именно будут располагаться полосы фильтра. Это отсутствие возможности регулирования границ полос ограничивает область применения обсуждаемого и описываемого ниже алгоритмов.

Для иллюстрации использования системы уравнений при оптимизации рассмотрим пример расчета фильтра вида 1 нижних частот с , максимумом пульсаций  и при условии, что используется весовая функция

Заданная частотная характеристика равна

На фиг. 3.40 показана функция  для этого примера. Экстремальными являются частоты  и .

Фиг. 3.40. Начальные условия при расчете фильтра нижних частот с максимумом пульсаций.

При  или  для фильтров вида 1 производная от  равна нулю при любых значениях коэффициентов импульсной характеристики. В данном примере число экстремальных частот = 8, из них = 3 лежат в полосе пропускания и  — в полосе непропускания. Таким образом, для заданных условий получаем следующую систему уравнений:

Определив из этой системы уравнений значения неизвестных частот и коэффициентов импульсной характеристики, можно найти границы полос пропускания и непропускания, вычисляя частоту выше , на которой  в точности равна  (граница полосы пропускания), и частоту ниже , на которой  равна точно  (граница полосы непропускания).

Описанная процедура оптимизации была использована для расчета фильтров нижних частот и полосовых фильтров со значениями  вплоть до 61. В разд. 3.29 рассматривается другой метод проектирования фильтров с максимумом пульсаций, который позволяет эффективно рассчитывать фильтры со значительно более длинными импульсными характеристиками.