2.22. Свойства ДПФ

Некоторые свойства ДПФ играют в практических вопросах обработки сигналов важную роль. Ниже они будут в основном перечислены, детали будут рассмотрены только в случае необходимости.

1. Линейность

Если  и  — периодические последовательности (с периодом в  отсчетов каждая), a  и  — их ДПФ, то дискретное преобразование Фурье последовательности  равно . Это положение справедливо я для последовательностей конечной длины.

2. Сдвиг

Если последовательность  периодическая с периодом в -отсчетов, а ее ДПФ равно , то ДПФ периодической последовательности вида  будет равно .

Фиг. 2.28. К определению ДПФ сдвинуто» последовательности.

При анализе последовательностей конечной длины необходимо учитывать специфический характер временного сдвига последовательности. Так, на фиг. 2.28, а изображена конечная последовательность  длиной в  отсчетов. Там же крестиками изображены отсчеты эквивалентной периодической последовательности , имеющей то же ДПФ, что и . Чтобы найти ДПФ сдвинутой последовательности , причем , следует рассмотреть сдвинутую периодическую последовательность  и в качестве эквивалентной сдвинутой конечной последовательности (имеющей ДПФ ) принять отрезок последовательности)  в интервале . Таким образом, с точки зрения ДПФ последовательность  получается путем кругового сдвига элементов последовательности  на  отсчетов.

3. Свойства симметрии

Если периодическая последовательность  с периодом в  отсчетов является действительной, то ее ДПФ  удовлетворяет следующим условиям симметрии:

      (2.153)

Аналогичные равенства справедливы и для конечной действительной последовательности , имеющей -точечное ДПФ . Если ввести дополнительное условие симметрии последовательности , т. е. считать, что

                    (2.154)

то окажется, что  может быть только действительной.

Поскольку чаще всего приходится иметь дело с действительными последовательностями, то, вычислив одно ДПФ, можно получить ДПФ двух последовательностей, используя свойства симметрии (2.153). Рассмотрим действительные периодические последовательности  и  с периодами в  отсчетов и -точечными ДПФ  и  соответственно. Введем комплексную последовательность  вида

                         (2.155)

Ее ДПФ равно

    (2.156)

                      (2.157)

Выделяя действительную и мнимую части равенства (2.157), получим

      (2.158)

Действительные части  и  симметричны, а мнимые — антисимметричны, поэтому их легко разделить, используя операции сложения и вычитания:

           (2.159)

Итак, вычисляя одно -точечное ДПФ, удается преобразовать сразу две действительные последовательности длиной по  отсчетов. Если эти последовательности являются еще и симметричными, то число операций, необходимых для получения их ДПФ, можно сократить еще больше.