7.19. Расчет оптимальных (в минимаксном смысле) двумерных фильтров
Двумерные КИХ-фильтры, подобно одномерным, можно рассчитать так, чтобы они были оптимальными по Чебышеву, т. е. обеспечивали бы минимаксную ошибку аппроксимации. В этом случае все отсчеты импульсной характеристики фильтра, или, что то же самое, все коэффициенты ее ДПФ, считаются неизвестными и рассчитываются с использованием методики оптимизации.
Фиг. 7.23. Амплитудная характеристика в линейном (а) и логарифмическом (б) масштабе оптимального (в минимаксном смысле) двумерного фильтра нижних частот.
Для вычисления коэффициентов фильтра можно использовать методы линейного программирования. Другие методы, также обеспечивавшие чебышевскую аппроксимацию при расчете одномерных фильтров, здесь непригодны, так как обобщенную теорему Чебышева (см. разд. 3.26) непосредственно использовать для двумерного случая нельзя. (В разд. 7.20 будет рассмотрена методика преобразования оптимальных одномерных фильтров в двумерные, которые часто также оказываются оптимальными.)
Фиг. 7.24. Контуры равных уровней амплитудной характеристики, изображенной на фиг. 7.23.
Прямой расчет оптимальных двумерных фильтров осложняется тем, что число переменпых и количество ограничений, на них накладываемых, весьма велико. Так, для расчета фильтра с импульсной характеристикой размером (9 x 9) отсчетов могут потребоваться тысячи ограничений и до 21 переменной, так что время решения задачи оптимизации на ЦВМ с достаточно высоким быстродействием составит около часа. В связи с этим наибольший размер импульсной характеристики оптимального двумерногофильтра, рассчитанного прямым методом, составляет (9 х 9) отсчетов. На фиг. 7.23 представлена в линейном и логарифмическом масштабе амплитудная характеристика такого оптимального фильтра, а на фиг. 7.24 изображены контуры равных уровней этой характеристики.
Из приведенных кривых видно, что пульсации ошибки апроксимации амплитудной характеристики, как и для одномерных фильтров, являются равновеликими. В то же время из фиг. 7.24 видно, что в области пропускания и в переходной области характеристика, как это и требуется, имеет приблизительно круговую симметрию. В области непропускания линии постоянного уровня уже не являются окружностями. Это объясняется тем, что отсчеты импульсной характеристики образуют прямоугольную сетку.
