3.10. «Обобщенное» окно Хэмминга

Второе из рассматриваемых окон, называемое обобщенным окном Хэмминга, имеет вид

                                  (3.50)

причем  лежит в пределах . Случай  соответствует окну Ханна, случай  — окну Хэмминга.

Частотную характеристику рассматриваемого окна легко получить, если учесть, что оно может быть представлено в виде произведения прямоугольного окна и окна, определяемого формулой (3.50), но для всех , т. е.

                       (3.51)

где  — прямоугольное окно, определяемое формулой (3.47). Следовательно, частотная характеристика обобщенного окна Хэмминга равна круговой свертке частотной характеристики прямоугольного окна  с последовательностью импульсов и может быть записана в виде

   (3.52)

Фиг. 3.10. Частотная характеристика окна Хэминнга

откуда

   (3.53)

На фиг. 3.10 наверху изображены графики трех компонент характеристики , а внизу — результирующая частотная характеристика (здесь принято  и ). Создается впечатление, что частотная характеристика окна Хэмминга не имеет пульсаций на частотах выше , однако на самом деле это не так. Пульсации настолько малы, что при линейной шкале на фиг. 3.10 они не видны. Из сравнения фиг. 3.9 и 3.10 видно, что ширина главного лепестка частотной характеристики окна Хэмминга в два раза больше, чем для прямоугольного окна. Однако уровень боковых лепестков в случае окна Хэмминга значительно ниже, чем у характеристики прямоугольного окна. При , т. е. для обычного окна Хэмминга, 99,96% общей энергии спектра содержится в главном лепестке, а максимумы боковых лепестков на 40 дБ ниже главного максимума. В отличие от окна Хэмминга максимум боковых лепестков в спектре прямоугольного окна ниже главного максимума всего на 14 дБ.

Из фиг. 3.10 хорошо видно, каким образом при использовании окна Хэмминга достигается подавление боковых лепестков при одновременном расширении главного лепестка: боковые лепестки функций  находятся в противофазе с боковыми лепестками , поэтому общий уровень боковых лепестков значительно уменьшается. В то же время пропорционально увеличивается ширина главного лепестка частотной характеристики. Ниже будет показано, что при расчете фильтра нижних частот расширение главного лепестка соответствует расширению переходной полосы между полосами пропускания и непропускания, тогда как уменьшение уровня боковых лепестков соответствует меньшим пульсациям в полосе пропускания и лучшему подавлению в полосе непропускания фильтра.