5.25. Квантование коэффициентов при построении фильтров в прямой форме

Допустим, что реальный цифровой фильтр с квантованными коэффициентами (т. е. представленными с конечной точностью) имеет передаточную функцию

Коэффициенты фильтра можно записать в виде

где — точные значения коэффициентов, — погрешности их квантования, являющиеся статистически независимыми случайными величинами с равномерными распределениями. Если обозначить через входную и выходную последовательности реального фильтра (считаем, что арифметические действия выполняются точно), а через отклик идеального фильтра на ту же входную последовательность, то ошибку на выходе можно записать в виде

т.е.

(5.100)

Отсюда, пренебрегая членами второго порядка, получим

Вычисляя z-преобразования от правой и левой частей соотношения (5.101), получим

(5.102)

где

Поскольку

(5.104)

из формулы (5.102) найдем, что

Решая систему уравнений (5.99), (5.104) и (5.105) относительно Y(z), получим

(5.106)

Таким образом, реальный фильтр можно представить в виде параллельно соединенных идеального фильтра и паразитного фильтра, как показано на фиг. 5.31.

Фиг. 5.31. Модель фильтра с квантованными коэффициентами (по Ноулсу и Олкейто).

Одной из возможных количественных характеристик эффектов, связанных с квантованием коэффициентов, является среднеквад-ратическая ошибка частотной характеристики, которую нетрудно определить из соотношения (5.106):

причем , а символ Е обозначает операцию усреднения. Используя предположение о взаимной стати стической независимости коэффициентов и входной последовательности, из формулы (5.107) можно получить

При квантовании коэффициентов с применением округления величины и удовлетворяют соотношениям

где — величина шага квантования, а и — числа коэффициентов, стоящих соответственно в числителе и знаменателе и не равных нулю или единице. Исходя из соотношений (5.109 в) и (5.109 г), дисперсию , описываемую формулой (5.108), удобно рассчитать, предположив, что на вход системы, изображенной на фиг. 5.32, подан цифровой единичный импульс. Интегралы, фигурирующие в формуле (5.108), заменены здесь на бесконечные суммы в соответствии с теоремой Парсеваля. На практике суммируется конечное число слагаемых.

Фиг. 5.32. Методика измерения дисперсии ошибки, связанной с квантованием коэффициентов (по Ноулсу и Олкейто).

Аналогичные формулы для дисперсии шума округления коэффициентов можно получить и для случаев построения фильтров в параллельной или каскадной форме. Мы не будем приводить здесь все эти формулы, а перейдем к изложению результатов экспериментальной проверки правильности рассмотренной статистической модели.