(4.191)
где 
— характеристика групповой задержки этого фильтра, причем интегрирование в левой части (4.191) производится в пределах половины частоты дискретизации 
. Так как групповая задержка выравнивающего фильтра может только добавляться к задержке исходного фильтра, т. е. 
, то для того, чтобы убедиться в справедливости соотношения (4.191), достаточно показать, что оно верно для всепропускающего фильтра первого порядка. Передаточная функция выравнивающего фильтра равна
где 
и 
— координаты полюса и нуля этой функции в z-плоскости соответственно. Характеристика групповой задержки обычно определяется следующим образом:
(4.193)
где 
— фазовая характеристика всепропускающего фильтра. С учетом соотношений (4.191) и (4.192) для выравнивающего фильтра 1-го порядка получим
(4.194)
Интегрирование правой части (4.194) в пределах от 0 до 
с последующим нормированием по 
дает
Значение соотношения (4.191) заключается в том, что с его помощью минимальный порядок выравнивающего фильтра, необходимый для выравнивания заданной характеристики групповой задержки, можно оценить, определив площадь между линией 
и кривой 
и поделив ее на 
[здесь 
— максимальное значение 
в полосе пропускания исходного фильтра]. В действительности порядок выравнивающего фильтра должен превышать величину оценки, получаемой из (4.191), так как это соотношение справедливо при условии, что задержка в выравнивающем фильтре идеально компенсирует неравномерность групповой задержки исходного фильтра.
По мере увеличения порядка выравнивающего фильтра относительно найденной оценки максимум ошибки аппроксимации групповой задержки будет монотонно уменьшаться.
В табл. 4.2-4.4 приведены характеристики трех групп эллиптических фильтров, которые выравнивались с помощью все-пропускающих фильтров. В таблицы включены заданные значения 
, требуемый порядок эллиптического фильтра n, требуемая длина импульсной характеристики БИХ-фильтра N, порядок выравнивающего фильтра 
, среднее по полосе пропускания значение задержки в фильтре после выравнивания 
(в числе отсчетов), уровень пульсаций групповой задержки в полосе пропускания после выравнивания 
, а также число умножений на каждый входной отсчет для оптимального КИХ-фильтра и каждого из эллиптических фильтров после выравнивания.
Из приведенных данных видно, что если необходимо обеспечить выравнивание характеристики групповой задержки с погрешностью порядка 3%, то при использовании эллиптического фильтра с выравниванием потребуется выполнять на 30% больше умножений на каждый входной отсчет, чем при использовании оптимального КИХ-фильтра, хотя эллиптический фильтр до выравнивания в подавляющем большинстве случаев эффективнее оптимального КИХ-фильтра. Таким образом, по крайней мере для случаев, когда, помимо аппроксимации с равновеликими пульсациями амплитудной характеристики требуется постоянство характеристики групповой задержки, оптимальный КИХ-фильтр будет всегда эффективнее эллиптического фильтра с выравниванием. Следует также отметить, что задержка в оптимальном КИХ-фильтре, равная (N - 1)/2 отсчетам, оказывается всегда меньше задержки в эллиптическом фильтре с выравниванием.
Во всех примерах, приведенных в табл. 4.2-4.4, порядок исходных эллиптических фильтров не превышал шести. Можно было бы ожидать, что относительная эффективность эллиптических фильтров более высокого порядка по сравнению с оптимальными КИХ-фильтрами будет выше, чем при малых порядках. Поэтому, возможно, в этих случаях фильтр с выравниванием будет более эффективен, чем КИХ-фильтр. Однако проверить это предположение не удается в связи с тем, что при больших величинах порядка эллиптических фильтров пик групповой задержки 
в полосе пропускания намного больше, чем при малых величинах порядка, так что требуемый порядок выравнивающего фильтра становится настолько большим, что его практически не имеет смысла рассматривать, если требуется выравнивание групповой задержки во всей полосе пропускания. Для иллюстрации этого положения на фиг. 4.50 приведена характеристика групповой задержки эллиптического фильтра нижних частот 10-го порядка, для которого 
. Оценка требуемой величины 
с использованием соотношения (4.191) дает 
.
Продолжение табл. 4.4
(см. скан)
Так как фактическое значение порядка выравнивающего фильтра должно быть еще больше, то ясно, что построить такой выравнивающий фильтр не удастся.
Представляет интерес еще один вопрос, касающийся рассмотренной в данном разделе методики выравнивания характеристик групповой задержки БИХ-фильтров, а именно какая из двух схем, в одной из которых используется эллиптический фильтр с последующим выравнивающим фильтром, а другая состоит из оптимального БИХ-фильтра, обеспечит наилучшую аппроксимацию заданных амплитудной характеристики и характеристики групповой задержки?
Фиг. 4.50. Характеристика групповой задержки эллиптического фильтра нижних частот 10-го порядка.
Ясно, что оптимальный БИХ-фильтр будет не хуже составного; вопрос, таким образом, состоит в том, насколько лучшую аппроксимацию он обеспечит. Точно ответить на этот вопрос не удается, поэтому ограничимся лишь несколькими замечаниями, основанными на опыте проектирования эллиптических фильтров с выравниванием:
1. Чтобы эллиптический фильтр обеспечивал достаточное ослабление в полосе непропускания, его нули должны располагаться на единичной окружности.
2. Нули выравнивающего фильтра должны располагаться вне единичного круга (из условия получения положительной задержки).
3. Положение полюсов эллиптического фильтра ограничивается требованиями, предъявляемыми к переходной полосе фильтра нижних частот.
4. Полюсы выравнивающего фильтра должны располагаться вблизи окружности фиксированного радиуса, причем равномерно в полосе пропускания.
Если не ограничивать расположение нулей оптимального БИХ-фильтра единичной окружности, то для реализации каждого из блоков 2-го порядка потребуется по четыре умножения на входной отсчет в отличие от трех умножений для каждого из блоков эллиптического фильтра плюс два умножения для каждого из блоков выравнивающего фильтра. Таким образом, представляется маловероятным, что оптимальный БИХ-фильтр будет существенно эффективнее эллиптического БИХ-фильтра с выравниванием.
ЛИТЕРАТУРА
Общие вопросы
1. Steiglitz К., The Equivalence of Digital and Analog Signal Processing, Information and Control, 8, No. 5, 455—476 (Oct. 1965).
2. Kaiser J. F., Design Methods for Sampled Data Filters, Proc. First Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 221—236 (Nov. 1963).
3. Kaiser J. F., Digital Filters, Ch. 7 in: System Analysis by Digital Computer, Kuo F. F., Kaiser J. F., eds., Wiley, N. Y., 1966.
4. Gibbs A. J., On the Frequency Domain Responses of Causal Digital Filters, Ph. D. Thesis, Univ. of Wisconsin, Madison, Wis., 1969.
5. Gibbs A. J., An Introduction to Digital Filters, Australian Telecomm. Research, 3, No. 2, 3—14 (Nov. 1969).
6. Gibbs A. J., The Design of Digital Filters, Australian Telecomm. Research, 4, No. 1, 29-34 (1970).
7. Rader С. M., Gold В., Digital Filter Design Techniques in the Frequency Domain, Proc. IEEE, 55, No. 2. 149—47
8. Golden R. M., Kaiser J. F., Design of Wideband Sampled Data Filters, Bell Syst. Tech. J., 43, No. 4, 1533-1546, Part 2 (July 1964).
9. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, McGraw-Hill, N. Y., 1962.
10. Storer J. E., Passive Network Synthesis, McGraw-Hill, N. Y., 1957.
11. Thiran J. P., Recursive Digital Filters with Maximally Flat Group Delay, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-18, 659—663 (Nov. 1971).
12. Thiran J. P., Equal-Ripple Delay Recursive Digital Filters, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-18, 664—667 (Nov. 1971).
13. Fettweis A., A Simple Design of Maximally Flat Delay Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-20, No. 2, 112—114 (June 1972).
14. Daniels R. W., Approximation Methods for the Design of Passive, Active, and Digital Filters, McGraw-Hill, 1974.
Частотные преобразования
1. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, McGraw-Hill, N. Y., 1962.
2. Constantinides A. G., Spectral Transformation for Digital Filters, Proc. IEE, 117, No. 8, 1585-1590 (1970).
Методы проектирования во временной области
1. Burrus С. S., Parks Т. W., Time Domain Design of Recursive Digital Filters, IEEE Trans. Audio., 18, 137—141 (1970).
2. Shanks J. L., Recursion Filters for Digital Processing, Geophys., 32, 33—51 (Feb. 1967).
3. Brophy F., Salazar A. C., Considerations of the Pade Approximant Technique in the Synthesis of Recursive Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 6, 500—505 (Dec. 1973).
4. Evans A. G., Fischl R., Optimal Least Squares Time-Domain Synthesis of Recursive Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 1, 61-65 (Feb. 1973).
5. Brophy F., Salazar A. C., Recursive Digital Filter Synthesis in the Time Domain, IEEE Trans, on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. ASSP-22, No. 1, 45-55 (Feb. 1974).
Методы оптимизации
1. Steiglitz К., Computer-Aided Design of Recursive Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, 18, 123—129 (1970).
2. Deczky A. G., Synthesis of Recursive Digital Filters using the Minimum P-Error Criterion, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-20, No. 4, 257-263 (Oct, 1972).
3. Helms H. D., Digital Filters with Equiripple or Minimax Responses, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, 19, No. 1, 87—94 (1971).
4. Deczky A., Computer Aided Synthesis of Digital Filters in the Frequency Domain, ScD. Thesis, Swiss Federal Institute of Technology, Zurich, Switzerland, 1973.
5. Bandler J. W., Bardakjian B. J., Least pth Optimization of Recursive Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 5, 460—470 (Oct. 1973).
6. Thajchayapong P., Rayner P. J., Recursive Digital Filter Design by Linear Programming, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 2, 107-112 (April 1973).
7. Rabiner L. R., Graham N.Y., Helms H. D., Linear Programming Design of IIR Digital Filters with Arbitrary Magnitude Function, IEEE Trans, on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. ASSP-22, No. 2, 117—123 (April 1974).
8. Fletcher R., Powell M. J. D., A Rapidly Convergent Descent Method for Minimization, Computer J., 6, No. 2, 163—168 (1963).
должен удовлетворять следующему соотношению: