3.4. Характеристики КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой

Пусть  — физически реализуемая последовательность конечной длины, заданная на интервале . Eё z- преобразование равно

   (3.1)

Преобразование Фурье от

                                                        (3.2)

является периодическим по частоте с периодом , т. е.

          (3.3)

Рассматривая только действительные последовательности , получим дополнительные ограничения на функцию  представив ее через амплитуду и фазу:

                    (3.4)

Знаки  действительно необходимы, поскольку функция  на самом деле равна

                       (3.5)

где  — действительная функция, принимающая положительные и отрицательные значения. Из уравнения (3.2) видно, что модуль преобразования Фурье является симметричной функцией, а фаза — антисимметричной функцией частоты, т. е.

     (3.6а)

                                          (3.6б)

На практике при расчете КИХ-фильтров часто требуется строго линейная фазовая характеристика. Рассмотрим, при каких условиях импульсная характеристика фильтра  будет обеспечивать строгую линейность его фазовой характеристики. Требование линейности фазы фильтра является еще одним ограничением; оно означает, что фазовая характеристика  имеет вид

                   (3.7)

где  — постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизации. Используя выражения (3.4) и (3.7), перепишем соотношение (3.2) следующим образом:

                               (3.8)

Приравнивая действительные и мнимые части, получим

         (3.9а)

          (3.9б)

Чтобы избавиться от множителя  разделим правые и левые части уравнений (3.9а) и (3.96):

         (3.10)

откуда

                   (3.11)

Существуют два возможных решения уравнения (3.10) или уравнения (3.11). Первое получается, если положить , что дает [с использованием (3.11)]

                                (3.12)

Это уравнение имеет единственное решение, соответствующее произвольному  и  при , т. е. импульсная характеристика фильтра состоит из одиночного импульса — результат, не представляющий интереса. Другое возможное решение соответствует случаю . Для этого случая уравнение (3.11) можно записать, перекрестно умножая члены, в виде

                 (3.13)

откуда

                   (3.14)

Поскольку уравнение (3.14) имеет вид ряда Фурье, то решение этого уравнения, если оно существует, является единственным.

Легко заметить, что решение уравнения (3.14) удовлетворяет следующим условиям:

                              (3.15)

                  (3.16)

Следует подчеркнуть смысл условий (3.15) и (3.16). Условие (3.15) означает, что для каждого  существует только одна фазовая задержка , при которой может достигаться строгая линейность фазовой характеристики фильтра. Из условия (3.16) следует, что при заданном , удовлетворяющем условию (3.15), импульсная характеристика должна обладать вполне определенной симметрией.

Целесообразно рассмотреть использование условий (3.15) и (3.16) отдельно для случаев четного и нечетного . Если  — нечетное, то  — целое, т. е. задержка в фильтре равна целому числу интервалов дискретизации. Типичная импульсная характеристика фильтра с линейной фазой для случая  (или ) приведена на фиг. 3.1. Центр симметрии характеристики приходится на пятый отсчет.

Типичная импульсная характеристика фильтра с линейной фазой при четном  показана на фиг. 3.2. В этом примере  и, как следует из (3.15), .

Фиг. 3.4. Типичная импульсная характеристика при нечетном  (четная симметрия).

Фиг. 3.2. Типичная импульсная характеристика при четном  (четная симметрия)

Фиг. 3.3. Импульсная характеристика при нечетном (а) и четном (б) значениях  (нечетная симметрия).

Таким образом, задержка в фильтре составляет 4,5 интервала дискретизации. Это означает, что центр симметрии импульсной характеристики лежит посредине между двумя отсчетами, как показано на фиг. 3.2. В разд. 3.36 и 3.37 будет рассмотрено несколько важных видов фильтров с линейной фазой, в которых задержка преимущественно равна нецелому числу интервалов дискретизации (т. е. их импульсная характеристика имеет четное число отсчетов ).

Согласно условию (3.7) линейности фазовой характеристики фильтра, требуется, чтобы фильтр имел постоянные как групповую, так и фазовую задержки. Если, как это часто бывает, достаточно, чтобы только групповая задержка была постоянной, можно определить еще один тип фильтра с линейной фазой, фазовая характеристика которого является кусочно-линейной функцией частоты , т. е.

              (3.17)

Рассуждая так же, как и при переходе от (3.8) к (3.14), можно показать, что новое единственное решение удовлетворяет следующим условиям:

                                     (3.18а)

                            (3.18б)

      (3.18в)

Фильтры, удовлетворяющие условиям (3.18), снова создают задержку в  интервалов дискретизации, но их импульсные характеристики в отличие от предыдущего случая антисимметричны относительно центра. Для примера на фиг. 3.3, а и б показаны импульсные характеристики фильтров с нечетным и четным  удовлетворяющие условиям (3.18). Следует отметить, что для нечетных значений , согласно (3.18в), . Условия (3.18) будут использованы в разд. 3.36 и 3.37 при расчете широкополосных дифференциаторов и преобразователей Гильберта.

Итак, в зависимости от значения  (нечетные или четные) и вида симметрии импульсной характеристики (симметричная или антисимметричная характеристика) возможны четыре различных вида КИХ-фильтров с линейными фазовыми характеристиками.