7.20. Частотное преобразование одномерных фильтров в двумерные
Как упоминалось выше, сложность расчета двумерных фильтров затрудняет проектирование фильтров с характеристиками, хорошо аппроксимирующими заданные, особенно если речь идет о фильтрах достаточно высокого порядка. В данном разделе описана такая методика отображения оптимальных одномерных КИХ-фильтров в двумерные КИХ-фильтры, при которой во многих случаях критерий оптимальности будет удовлетворяться и для двумерного фильтра.
Если записать частотную характеристику двумерного КИХ-фильтра с линейной фазовой характеристикой в виде
(7.102)
(здесь предполагается, что 
нечетные), то действительную функцию 
можно выразить как
(7.103)
где коэффициенты 
связаны с импульсной характеристикой фильтра 
соотношениями
В гл. 3 было показано, что КИХ-фильтр с линейной фазовой характеристикой и импульсной характеристикой длиной в N отсчетов имеет частотную характеристику
В формуле (7.106) частотная характеристика представлена в виде тригонометрического полинома от 
, а в формуле (7.107) — в виде алгебраического полинома от 
. Введя (по Макклеллану) подстановку
(7.108)
выражение (7.107) можно преобразовать следующим образом:
(7.109)
Сумма (7.110) является искомым выражением для частотной характеристики КИХ-фильтров с линейной фазой [см. (7.103)]. Положив
(7.111)
и решив уравнение (7.108) относительно 
, получим следующее отображающее соотношение:
Фиг. 7.26. Частотная характеристика фильтра нижних частот с импульсной характеристикой размером (9 X 9) (по Макклеллану).
Фиг. 7.27. Сопоставление контуров равных уровней амплитудных характеристик двух фильтров нижних частот, рассчитанных различными методами (по Макклеллану).
Фиг. 7.28. Частотная характеристика полосового фильтра с импульсной характеристикой размером (31 X 31) (по Макклеллану).
Амплитудная характеристика, приведенная на фиг. 7.26, относится к фильтру нижних частот с круговой симметрией, граничными частотами областей пропускания и непропускания, соответственно равными 0,1666 и 0,3333, и импульсной характеристикой размером (9x9). На фиг. 7.27 для сравнения показано расположение границ областей пропускания и непропускания для фильтра фиг. 7.26 и для фильтра, рассчитанного методами линейного программирования. Видно, что эти границы несколько отличаются друг от друга. Однако со всех других точек зрения (т. е. по уровню пульсаций в полосах непропускания и пропускания) эти фильтры оказываются эквивалентными.
На фиг. 7.28 изображена амплитудная характеристика полосового фильтра с импульсной характеристикой размером (31 X 31) и с круговой симметрией. Важным преимуществом метода частотного преобразования по сравнению со стандартными методами проектирования двумерных фильтров является то, что они позволяют сравнительно просто рассчитывать фильтры с длинными импульсными характеристиками, так как задачу аппроксимации достаточно решить для одномерной характеристики. Более того, можно показать, что при использовании преобразования (7.108), где переменные удовлетворяют условию (7.111), получаемый двумерный фильтр будет оптимальным в минимаксном смысле. Таким образом, метод частотного преобразования является, по-видимому, наиболее полезным методом расчета двумерных фильтров и может быть использован для широкого круга задач.
(см. скан)
Фиг. 7.29. Исходная фотография.
Фиг. 7.30. Та же фотография после фильтрации нижних частот.
Фиг. 7.31. Та же фотография после фильтрации верхних частот
с помощью соотношения (7.112) отображается на плоскость 
. Для каждого значения 
на плоскости 
проведена линия, вдоль которой значения получаемой в результате преобразования двумерной частотной характеристики постоянны и равны величине одномерной частотной характеристики на той же частоте 
При изменении 
получается семейство кривых (см. фиг. 7.25), полностью описывающих частотную характеристику двумерного фильтра, рассчитываемого методом частотного преобразования. Из фиг. 7.25 следует, что линии равных уровней близки к окружностям, т. е. данный метод пригоден для расчета фильтров с круговой симметрией.
