3.33. Некоторые дополнительные свойства оптимальных фильтров нижних частот вида 1
Целесообразно
рассмотреть некоторые дополнительные свойства оптимальных фильтров:
1) симметрию
параметров фильтра;
2) поведение
ширины переходной полосы при больших 
;
3) аналитические
решения для чебышевской аппроксимации.
В данном разделе
будет описано, как эти свойства связаны с задачей проектирования фильтров.
1. Симметрия
параметров фильтра
Оптимальный
фильтр полностью характеризуется набором следующих параметров: 
. Покажем, что
каждому оптимальному фильтру нижних частот с перечисленным набором параметров
соответствует другой оптимальный фильтр с параметрами 
, 
т. е. существует
своего рода симметрия параметров фильтра.
Фиг.
3.55. Симметрия параметров оптимального фильтра нижних частот
На
фиг. 3.55 свойство симметрии представлено графически. Изображенная здесь
частотная характеристика фильтра с параметрами 
может
быть записана в виде
(3.130)
Делая
подстановку
, (3.131)
Получаем
(3.132)
и,
полагая 
находим
(3.133)
Фиг.
3.56. Зависимость ширины переходной полосы от частоты среза полосы пропускания
для оптимальных фильтров нижних частот.
Выражение (3.133)
описывает частотную характеристику оптимального фильтра (верхних частот),
показанную на фиг. 3.55, б. И наконец, положив
, (3.134)
получим
частотную характеристику оптимального фильтра нижних частот (фиг. 3.55, в)
с параметрами , 
.
При 
(т. е. 
) кривая зависимости
от 
(такая, как,
например, на фиг. 3.50) является симметричной 
. Однако при 
кривая
зависимости от
несимметрична,
как это видно из фиг. 3.56, где 
,
.
Если
построить кривую зависимости от при , 
то вследствие симметрии она
окажется зеркальным отображением кривой, приведенной на фиг. 3.56.
2.
Ширина переходной полосы для больших
Из
сравнения фиг. 3.50 и 3.56 видно, что кривая зависимости ширины переходной
полосы от частоты среза в случае 
сильно
отличается от аналогичной кривой при 
. Видно, что при больших с возрастанием
ширина
переходной полосы уменьшается довольно резко. В приведенном на фиг. 3.56
примере ширина переходной полосы уменьшается более чем в 2 раза с возрастанием
частоты среза. Интуитивно этот эффект можно объяснить тем, что с увеличением
пульсации
из полосы непропускания попадают в полосу пропускания, где они могут быть в
раз
больше по величине (в 100 раз для примера на фиг. 3.56), за счет чего и может
быть уменьшена ширина переходной полосы .
Этот
эффект не столь ярко выражен при больших N. На фиг. 3.57 изображены
кривые зависимости ширины переходной полосы от частоты среза полосы пропускания
для 
и , 10 и 100 при 
, 0,01, 0,001 и
0,0001 (приведены кривые только для фильтров с дополнительной пульсацией). Видно,
что резкое изменение ширины переходной полосы происходит в большинстве случаев
вблизи 
т. е. только для
весьма широкополосных фильтров.
3.
Чебышевские решения
Хотя нелегко
получить аналитическое решение задачи проектирования оптимального фильтра, в
частном случае, когда в полосе пропускания или в полосе непропускания имеется
только одна пульсация, такое аналитическое решение существует. Это решение
имеет вид хорошо известного полинома Чебышева.
Фиг. 3.57. Зависимость ширины переходной полосы
от частоты среза полосы пропускания для оптимальных фильтров с импульсной
характеристикой, содержащей 101 отсчет.
Рассмотрим
полином Чебышева 
-й
степени 
,
определяемый
формулой
(3.135)
что
эквивалентно обычному полиному вида
(3.136)
Фиг.
3.58. Чебышевский полином.
На фиг. 3.58
изображен график для 
. Если положить 
, то легко показать, что
полином 
является точным
решением задачи аппроксимации для оптимального фильтра вида 1 с одной
пульсацией в полосе пропускания. Поскольку полиномы Чебышева заданы в области 
, для отображения их в
область 
требуется
выполнить преобразование вида
, (3.137)
которое
обеспечивает отображение интервала 
в интервал 
и преобразование
обычного полинома по х в тригонометрический полином по . Значение 
в преобразовании
(3.137) соответствует точке, в которой 
.
В случае когда
решение имеет вид чебышевского полинома, частоты среза полос пропускания и
непропускания являются отображениями точек 
(где 
) и 
. Таким образом,
можно найти аналитическое выражение для ширины переходной полосы , которое при больших 
имеет вид
(3.138)
Фиг. 3.59. Свойства оптимальных (по Чобышеву)
фильтров нижних частот.
Фиг. 3.60. Дополнительные свойства оптимальных
(по Чебышеву) фильтров
нижних
частот.
При
это выражение
упрощается:
(3.139)
Таким
образом, величина 
,
определяемая формулой
, (3.140)
при сделанных
выше предположениях оказывается независимой от величин и . На фиг. 3.59 приведены
графики зависимости величины от 
для 
(т. е. большого ) и различных
значений и
.
Из
графиков видно, что действительно не зависит от при малых . На фиг. 3.60
приведены графики зависимости от для , 10 и 100 и
различных значений от 3 до 127. Как и было показано выше,
при 
величина по существу не
зависит от .
