3.29. Расчет КИХ-фильтров с максимумом пульсаций на основе полиномиальной интерполяции

Второй, более эффективный метод проектирования фильтров с максимумом пульсаций был предложен Хофштеттером, Оппенгеймом и Зигелем. Он основан на вычислении методом последовательных приближений полинома , имеющего экстремумы заданной величины. Расчет начинается с задания исходных значений экстремальных частот функции . После этого используется хорошо известная интерполяционная формула JIaгранжа для полинома, который на выбранных частотах имел бы чередующиеся максимумы и минимумы и обладал бы пульсацией максимально допустимого уровня. Экспериментально показано, что исходные значения экстремальных частот не влияют на окончательную сходимость алгоритма, но определяют число итераций, требуемых для получения окончательного решения.

Рассмотрим в качестве примера расчет фильтра вида 1 нижних частот. На фиг. 3.41 изображена частотная характеристика фильтра нижних частот с =11 и максимумом пульсаций . Весовая функция  и заданная частотная характеристика — такие же, как в примере из разд. 3.28. Число экстремальных частот  равно шести. Из них  частот находится в полосе пропускания, a  — в полосе непропускания. Зачерненными точками на частотной оси фиг. 3.41 отмечены исходные значения экстремальных частот .

Фиг, 3.41. Итеративный расчет фильтра нижних частот с максимумом пульсации (по Хофштеттеру, Оппенгейму и Зигелю).

Сплошной линией изображен исходный полином Лагранжа, полученный таким подбором коэффициентов, чтобы значения полинома на исходных экстремальных частотах совпадали с заданными значениями экстремумов. Как видно из фиг. 3.41, пульсации полученного полинома превосходят заданный уровень. Следующий шаг состоит в том, чтобы найти частоты, на которых первый интерполяционный полином Лагранжа имеет экстремумы. Эти частоты, изображенные на фиг. 3.41 кружками, являются гораздо лучшим приближением к частотам, на которых экстремумы частотной характеристики достигнут заданного уровня. Новый набор экстремальных частот используется для построения другого полинома Лагранжа (он показан на фиг. 3.41 пунктирной линией), имеющего заданные значения на этих частотах.

Фиг. 3.42. Частотная характеристика полосового фильтра с максимумом пульсаций (по Хофштеттеру, Оппенгейму и Зигелю).

Фиг. 3.43. Частотная характеристика фильтра нижних частот с максимумом пульсаций (по Хофштеттеру, Оппенгейму и Зигелю).

Фиг. 3.44. Частотная характеристика многополосного фильтра с максимумом пульсаций (по Хофштеттеру, Оппенгейму и Зигелю).

Ясно, что алгоритм имеет итеративный характер. После определения частот экстремумов нового полинома переходят к следующей итерации. Этот алгоритм сильно напоминает хорошо известный алгоритм многократной замены Ремеза в чебышевской теории аппроксимации.

Характеристики нескольких типичных фильтров с максимумом пульсаций, рассчитанных Хофштеттером с соавторами с использованием рассматриваемого алгоритма, показаны на фиг. 3.42—3.44. На фиг. 3.42 изображена частотная характеристика в логарифмическом масштабе полосового фильтра вида 1 с  (т. е. с = 21), с 6 экстремумами  в каждой из полос непропускания и с 9 экстремумами в полосе пропускания. Максимум пульсаций в полосах непропускания = 0,00001 (или — 100 дБ), тогда как в полосе пропускания он равен 0,005. На фиг. 3.43 изображена частотная характеристика фильтра нижних частот вида 1 с = 251, 33 экстремумами  в полосе пропускания и 94 экстремумами в полосе непропускания. Максимум пульсаций в полосе пропускания = 0,01, а в полосе непропускания = 0,00004 (или — 88 дБ). Наконец, на фиг. 3.44 приведена частотная характеристика модифицированного фильтра нижних частот вида 1 с двумя различными полосами пропускания и одной полосой непропускания. Для этого фильтра =121, а экстремумы распределены следующим образом: 12 — в первой полосе пропускания, 31 — во второй и 18 — в полосе непропускания. Заданный уровень частотной характеристики в первой полосе пропускания равен 0,25, а во второй, как обычно, он равен 1. Максимумы ошибок в первой и во второй полосах пропускания равны = 0,01 и = 0,02. Максимум ошибки в полосе непропускания = 0,0001.

Несмотря на то, что этот улучшенный алгоритм существенно расширяет возможности проектирования фильтров с большими N, ему все же присущ недостаток, связанный с тем, что нельзя заранее задать граничные частоты полос фильтра; они вычисляются на основе окончательного решения. Более того, и данный, и описанный выше методы позволяют рассчитывать лишь фильтры с максимумом пульсаций, которые, как обсуждалось выше, являются лишь подклассом класса оптимальных фильтров. В следующих разделах будут рассмотрены методы проектирования произвольных оптимальных (в минимаксном смысле) фильтров.