3.21. Фильтры вида 1 с частотной выборкой и линейной фазой

Выше было показано, что частотная характеристика фильтра вида 1 с частотной выборкой описывается выражением

    (3.78)

Для фильтров с линейной фазой [с задержкой на  отсчетов] частотные отсчеты  можно записать в виде

     (3.79)

причем

     (3.80)

Кроме того, при четном

    (3.81)

                                     (3.82)

а при нечетном

     (3.83)

Уравнение (3.82) отражает тот факт, что, как ранее было показано, для фильтра с линейной фазой и четным  функция  при .

Используя выражения (3.81) и (3.82), приведем (3.79) к виду (для четного )

     (3.84)

Подставив выражение для  и (3.78) и сократив члены, получим

           (3.85)

Подстановка  во вторую сумму выражения (3.85) дает

       (3.86)

Объединяя члены и учитывая формулу (3.80), находим

     (3.87)

Наконец, используя тригонометрические тождества, получаем искомый результат:

    (3.88)

Выражение (3.88) без учета множителя  представляет искомую действительную функцию  для фильтра вида 1 с частотной выборкой, имеющего линейную фазу и четное .

Аналогичные выкладки для фильтра вида 1 и нечетного  дают

     (3.89)