6.15. Измерение спектра в ограниченном секторе z-плоскости с использованием БПФ

Пусть заданы L отсчетов сигнала, и необходимо найти z-преоб-разование в точках, расположенных на дуге окружности в z-плоскости. Положим для определенности, что N = 64, а количество искомых спектральных отсчетов, положение которых показано на фиг 6.23, равно 16. В данном случае выражение для z-преобразования имеет следующий вид:

где

так что

Из формулы (6.53) следует, что после предварительного умножения на задача расчета z-преобразования сводится к задаче спектральных измерений на дуге единичной окружности, которая изображена на фиг. 6.24.

Для эффективности расчета спектра методом БПФ точки следует перераспределить таким образом, чтобы они равномерно располагались на единичной окружности. Этого можно достичь, прореживая отсчеты сигнала и комбинируя затем получающиеся спектры. Перечислим последовательность выполняемых при этом операций:

Фиг. 6.23. Круговой сектор в z-плоскости.

1. Вычислить 16-точечное БПФ отсчетов сигнала с номерами 0, 4, 8, ..., 60, что дает .

2. Вычислить 16-точечное БПФ отсчетов с номерами 1, 5, 9,... 61, что дает .

3. Повторить то же для отсчетов 2, 6, 10, ..., 62 и 3, 7, 11, ..., 63, что дает соответственно.

4. Сложить коэффициенты БПФ по формуле

где .

Фиг. 6.24. Преобразование контура, изображенного на фиг. 6.23, в дугу окружности с помощью предварительного умножения массива сигнала.

Отметим, что этот же результат можно получить иначе, вычислив 64-точечное БПФ и взяв первые 16 коэффициентов БПФ. В этом случае потребовалось бы выполнить (N/2)log2N = 192 базовые операции, тогда как при использовании четырех 16-точечных преобразований их нужно было бы 128. Таким образом, в зависимости от параметров системы можно использовать по крайней мере два различных метода вычисления спектра вдоль дуги в z-плоскости, изображенной на фиг. 6.23.

В последующих разделах будут описаны два алгоритма расчета z-преобразования конечной последовательности вдоль определенного контура на z-плоскости. Один из них, называемый алгоритмом Блюстейна, дает способ вычисления ДПФ N-точечной последовательности с помощью весовой обработки выходных отсчетов на выходе ЛЧМ-фильтра (его импульсная характеристика имеет вид колебания с линейной частотной модуляцией). Второй алгоритм, называемый z-преобразованием с использованием ЛЧМ-фильтрации, показывает, как z-преобразование конечной последовательности вдоль определенного контура на z-плоскости может быть выражено через свертку; следовательно, оно может быть получено методом быстрой свертки.