5.11. Шум округления в рекурсивных структурах с фиксированной запятой

В цифровых фильтрах при использовании систем счисления с фиксированной запятой выполняются операции умножения на постоянные величины (коэффициенты фильтра) и сложения. Пока переполнений не происходит, сложение двух или более чисел с фиксированной запятой не может привести к ошибкам в представлении суммы. (Но так как переполнение при сложении все-таки возможно, то при построении фильтра необходимо ввести ограничения на динамический диапазон сигнала. В данной главе мы еще вернемся к этому вопросу.) С другой стороны, умножение не может вызвать переполнения (если оба сомножителя были соответствующим образом пронормированы), но результат умножения необходимо квантовать. Пока не будет оговорено особо, будем считать, что при квантовании используется округление, так как ему свойственны некоторые желательные для нас свойства: ошибка не зависит от системы счисления, ее среднее равно нулю (в отличие от ошибки усечения), а дисперсия меньше, чем для других методов квантования.

Модель, описывающая шум округления произведения в системе с фиксированной запятой, показана на фиг. 5.12. Умножитель рассматривается здесь как устройство, работающее с бесконечной точностью, а вслед за ним включен сумматор, на который поступает шум квантования произведения, так что результат суммирования обязательно равен одному из уровней квантования.

Фиг. 5.12. Шумовая модель квантования при умножении с фиксированной запятой.

В модели принято, что отсчеты шума округления являются случайными величинами с равномерным распределением, которое представлено на фиг. 5.11 для случая округления чисел с фиксированной запятой. Таким образом, каждый отсчет шума округления — это случайная величина с нулевым средним и дисперсией, равной , где — число разрядов (включая знаковый), используемых для представления переменных фильтра.

Для моделирования эффектов округления при умножении в цифровом фильтре необходимо сделать некоторые предположения относительно статистической независимости различных источников шума, возникающего в фильтре. Обычно используются следующие предположения:

1. Любые два отсчета шума от одного и того же источника не коррелированы.

2. Любые два источника шума (возникающего в различных умножителях) создают некоррелированные шумы.

3. Шум от каждого из источников некоррелирован с входной последовательностью.

Таким образом, шум от каждого из источников шума квантования произведения рассматривается как дискретный стационарный случайный процесс с равномерной спектральной плотностью мощности, равной .

Следует отметить, что эти предположения справедливы не всегда. В частности, если входные отсчеты постоянны, все три предположения нарушаются. При этом шум (т. е. ошибку) округления уже нельзя считать некоррелированным с входной последовательностью. Вопросы, связанные с коррелированным шумом округления (т. е. с предельными циклами), будут рассмотрены в разд. 5.31.

На фиг. 5.13 изображена блок-схема цифрового фильтра четвертого порядка, построенного в прямой форме, в которой в соответствии с вышеприведенной моделью все умножители, имеющие конечную точность вычислений, заменены идеальными умножителями и источниками аддитивного шума округления.

Фиг. 5.13. Шумовая модель квантования произведений в рекурсивном фильтре четвертого порядка.

Поскольку шумы от всех источников приложены к одной точке фильтра, их можно заменить одним источником шума с нулевым средним и дисперсией, равной (согласно предположению 2) , как показано в нижней части фиг. 5.13.

Если фильтр четвертого порядка (фиг. 5.13) реализуется путем последовательного соединения двух фильтров второго порядка, то шумовая модель такого фильтра имеет вид, показанный на фиг. 5.14.

Фиг. 5.14. Шумовая модель квантования произведений при последовательном соединении двух рекурсивных блоков.

В ней также имеется девять источников шума [с по ], но они уже не подключаются к общей точке, как это было на фиг. 5.13. Как и в предыдущем случае, важно оценить дисперсию шума на выходе фильтра. Для оценки дисперсии составляющих выходного шума, обусловленных каждым из источников, можно воспользоваться теорией линейных систем, а дисперсия полного шума, согласно предположению 2, будет равна сумме дисперсий отдельных составляющих.

Рассмотрим k-й источник шума . Пусть — импульсная характеристика участка цепи от источника шума до выхода фильтра. [Заметим, что для конкретных цепей можно определить методами теории линейных систем с постоянными параметрами.] Составляющая выходного шума обусловленная источником ей , равна свертке

Дисперсия имеет вид

Фиг. 5.15. Шумовая модель квантования произведений в системе первого порядка.

причем соотношение (5.23) было выведено с учетом предположений 1 и 3 (см. стр. 343), а .

В пределе, когда дисперсия стремится к установившемуся значению

При этом дисперсия полного шума будет равна

Для цепей первого и второго порядка величина рассчитывается достаточно просто. В фильтре первого порядка (фиг. 5.15) имеется только один источник шума , а импульсная характеристика , так что

На фиг. 5.16 изображен фильтр второго порядка с z-преобразованием импульсной характеристики, равным

В нем содержатся два источника шума , причем импульсные характеристики цепей, по которым проходят шумовые последовательности, имеют вид

Фиг. 5.16. Шумовая модель квантования произведений в системе второго порядка.

В этом случае установившееся значение дисперсии выходного шума равно

или после суммирования имеем

При оценке установившегося значения дисперсии выходного шума [формула (5.24) или (5.25)] приходится суммировать бесконечный ряд значений . Обычно для самих отсчетов трудно найти явное аналитическое выражение, но еще труднее их просуммировать. Иногда вычисления можно упростить, применив для нахождения суммы бесконечного ряда теорему Парсеваля (см. гл. 2)

где равно z-преобразованию от , которое легко найти по структурной форме цифрового фильтра. Интеграл (5.26) можно вычислить, интегрируя вдоль единичной окружности и используя теорему Коши о вычетах. Например, для системы второго порядка, изображенной на фиг. 5.16,

причем полюсы этого z-преобразования находятся в точках (здесь согласно условию устойчивости фильтра). Функции имеют полюсы в точках , расположенных вне единичного круга. Таким образом, для вычисления интеграла (5.26) необходимо найти значения вычетов функции в точках .

Фиг. 5.17. Шумовая модель квантования произведений при последовательном соединении двух блоков первого порядка.

Получаемый при этом результат совпадает с полученным ранее выражением (5.25а), также относящимся к системе второго порядка.

В качестве еще одного примера вычисления установившегося значения дисперсии выходного шума рассмотрим два последовательно соединенных блока первого порядка (фиг. 5.17). Для источника шума они представляют цепь с z-преобразованием импульсной характеристики

а для источника шума — цепь с z-преобразованием

Тогда, согласно формулам (5.24) — (5.26), установившееся значение дисперсии выходного шума будет равно

Для вычисления интегралов в качестве контура следует выбрать единичную окружность. Тогда первый интеграл будет иметь внутри контура только один полюс в точке а второй — два (в точках ).

Рассчитав вычеты, получим

Получить этот результат без использования формулы (5.26) было бы значительно труднее. Описанная возможность применения спектральных методов для оценки дисперсии шума округления открывает пути для практического использования нескольких процедур масштабирования, рассматриваемых в разд. 5.12.