12.3. Кратковременный спектральный анализ

Преобразование Фурье последовательности , определяется как

.                                   (12.2)

Как было показано в гл. 6, для нестационарных сигналов типа речевых сигналов преобразование Фурье не имеет смысла, так как спектр речи изменяется во времени. Более полезной характеристикой распределения энергии речевого сигнала является преобразование Фурье на коротком интервале, определяемое как

.     (12.3)

Равенство (12.3) можно рассматривать как фурье-преобразование речевого сигнала на бесконечном интервале, если выделить вблизи момента времени  участок конечной длины с помощью весовой функции («временного окна») вида  (фиг. 12.6). Используя свертку, равенство (12.3) можно записать иначе:

               (12.4)

Левую часть равенства (12.3) можно представить в виде

,                (12.5)

где  и  — действительная и мнимая части кратковременного фурье-преобразования,   равные

                (12.6а)

                 (12.6б)

Фиг. 12.6. Представление кратковременного спектрального  анализа.

Из этих формул вытекает простой способ измерения кратковременных преобразований, который иллюстрируется на фиг. 12.7. Обычно , преобразование Фурье от , выбирают таким образом, чтобы аппроксимировать идеальный фильтр нижних частот с частотой среза , показанный на фиг. 12.8. Тогда  соответствует энергии речевого колебания на частоте со в момент времени . Точнее, энергия измеряется в полосе частот от  до .

В большинстве систем для спектрального анализа речи кратковременное преобразование желательно измерять на  частотах, которые обычно располагаются в полосе  равномерно. С этой целью описанные выше измерения проводятся для каждой из  частот. Если  является импульсной характеристикой КИХ-фильтра, а частоты распределены равномерно, одновременные измерения могут быть выполнены весьма эффективно с применением алгоритма ДЗПФ.

Фиг.  12.7.  Простой метод анализа речевого сигнала, основанный на кратковременном спектральном анализе.

Фиг. 12.8. Идеальный фильтр нижних частот для кратковременного спектрального анализа.

Чтобы показать это, положим, что  отлично от нуля при  и что центральные частоты анализа  равны

                          (12.7)

Тогда  (12.3)  можно переписать следующим  образом:

где  означает   целую    часть   от .   Положив , получим

          (12.9)

Подстановка  из (12.7) дает

      (12.10)

Здесь  заменено единицей. Формулу (12.10) можно переписать в виде

                        (12.11)

где

          (12.12)

Соотношение (12.11) показывает, что  можно получить, перемножив последовательность  и ДПФ последовательности . На фиг. 12.9 иллюстрируется процесс почленного получения последовательности  из исходных последовательностей  и .

Фиг. 12.9. Формирование  из  и .

Таким образом, кратковременный фурье-анализ речевых сигналов может быть выполнен либо непосредственно с использованием гребенки цифровых фильтров, либо косвенно с применением БПФ.