7.6. Частотные методы

При анализе двумерных ЛПП-систем крайне важную роль играют двумерные синусоидальные сигналы, поскольку, как и в одномерном случае, они являются собственными функциями систем.

Так, если на вход двумерной системы поступает синусоидальный сигнал

то, согласно теореме о свертке, выходная последовательность будет равна

Здесь функция представляет собой частотную характеристику двумерной системы, которая имеет вид двумерного ряда Фурье

так что коэффициенты фильтра можно вычислить по известной формуле

Частотная характеристика обладает несколькими интересными свойствами. Ясно, что она периодична по обеим осям, т. е.

Если отсчеты импульсной характеристики принимают только действительные значения, то частотная характеристика будет удовлетворять следующему условию:

Это означает, что поведение частотной характеристики при , т. е. в первом квадранте, полностью определяет ее поведение в третьем квадранте (и наоборот).

Продемонстрируем применение формулы (7.29) на двух важных примерах:

Фиг. 7.5. Частотная характеристика идеального двумерного фильтра нижних частот с прямоугольной областью пропускания.

Пример 2. Найти коэффициенты Фурье для фильтра с частотной характеристикой

т.е. в пределах заштрихованного прямоугольника на фиг. 7.5.

Решение. Согласно равенству (7.29), находим

Из данного примера видно, что если частотную характеристику можно представить в виде произведения двух членов, один из которых зависит только от с, а другой — только от то импульсная характеристика также будет равна произведению двух функций, одна из которых зависит только от , а вторая — только от .

Пример 3. Найти коэффициенты Фурье для фильтра с частотной характеристикой

т. е. в заштрихованном круге на фиг. 7.6.

Решение. Легко заметить, что обладает круговой симметрией, т. е. .

Фиг. 7.6. Частотная характеристика идеального двумерного фильтра нижних частот с круговой областью пропускания.

Можно показать, что при этом и коэффициенты Фурье также обладают круговой симметрией, т. е. последовательно, проще всего найти , предварительно вычислив и заменив на . Итак,

Введя подстановку

откуда

получим

Здесь — функция Бесселя первого порядка. Таким образом,