5.12. Ограничение динамического диапазона в системах с фиксированной запятой

Как уже упоминалось, при сложении чисел с фиксированной запятой ошибки округления вообще не возникают, зато эта операция может привести в цифровом фильтре к гораздо более опасному явлению — переполнению. Было предложено несколько способов устранения переполнений (после их обнаружения), но полагаться на эти способы нецелесообразно, так как они связаны с нелинейной обработкой. Вместо этого следует проектировать фильтры таким образом, чтобы в нормальных условиях переполнения были маловероятны. Для предотвращения переполнений следует в определенных точках фильтра масштабировать сигналы так, чтобы при сложении не возникало переполнений. В данном разделе будет описана весьма общая методика выбора масштабирующих множителей, позволяющая предотвратить переполнения и в то же время сохранить максимально возможной величину отношения сигнала к уровню шума округления в фильтре. Теоретические основы методики разработаны в основном Джексоном. Эта методика довольно сложная, но она позволяет непосредственно выбрать как разрядность в фильтре, обеспечивающую заданное отношение сигнала к шуму округления, так и наилучшую схему построения фильтра. Вышеизложенное позволяет надеяться, что сложность материала данного раздела с лихвой окупится более ясным пониманием особенностей построения фильтров. Мы будем в основном пользоваться обозначениями и методом изложения, использованными Джексоном.

На фиг. 5.18 изображен направленный граф, описывающий работу шумовой модели цифрового фильтра. Умножители и элементы эадержки представляются ветвями графа, а его узлы соответствуют либо сумматорам (узлы суммирования), либо точкам соединения проводников схемы (узлы разветвления).

Фиг. 5.18. Направленный граф, представляющий шумовую модель цифрового фильтра (по Джексону).

Входной последовательностью фильтра является , а выходной . Сигнал, выходящий из узла разветвления, обозначается через , а ошибка округления в узле суммирования — через . Последовательности являются соответственно импульсными характеристиками всего фильтра и части того же фильтра при условии, что выходной сигнал снимается с узла разветвления. Последовательность является откликом на последовательность , причем для любых к Функции являются z-преобразованиями последовательностей соответственно.

Для пояснения основных идей рассмотрим приведенную на фиг. 5.19 прямую форму фильтра, содержащего два узла разветвления и два узла суммирования, z-преобразования, используемые в шумовой модели зтого фильтра, равны

Фиг. 5.19. Прямая форма построения системы третьего порядка.

Задача состоит в том, чтобы с помощью этой модели найти метод масштабирования последовательностей , гарантирующий отсутствие переполнений в любом из узлов суммирования и в то же время позволяющий минимизировать дисперсию шума округления на выходе фильтра. Если предположить, что к узлу суммирования подключены источников шума (так, для схемы на фиг. 5.19 кг — 3, кг — 4) и каждый из них создает белый шум со спектральной плотностью мощности, равной (где — величина шага квантования), то, согласно предположению о некоррелированности шумовых источников, шум также будет белым и иметь спектральную плотность, равную Спектральную плотность мощности выходного шума можно определить, используя теорию линейных систем. Она равна

Если в фильтре предусмотрено масштабирование переменных (масштабированные переменные будут отмечаться штрихом), то формула (5.27) примет вид

причем так как умножение на масштабирующие множители является дополнительным источником ошибок.

Если предположить, что входная последовательность ограничена по величине числом 1,0, то нетрудно найти масштабирующие множители, гарантирующие выполнение условий . Последовательность равна свертке

(Здесь предполагается, что начальные условия нулевые, а шум округления отсутствует.) Поскольку , то

Таким образом, для выполнения неравенства достаточно, чтобы промасштабированная последовательность удовлетворяла соотношению 1

Нетрудно показать, что условие (5.31) является и необходимым условием справедливости неравенства при любых n.

На практике для определения масштабирующих множителей формулу (5.31) обычно не применяют, так как она дает со слишком большим запасом, причем просуммировать ряд (5.31) довольно трудно. Можно найти более удобные методы масштабирования, если ввести определенные допущения о классе входных сигналов, например об ограниченности энергий или спектров сигналов.

Если предположить, что является детерминированной последовательностью с z-преобразованием X(z), то [см. формулу (5.29)] можно найти с помощью обратного преобразования Фурье от произведения преобразований Фурье последовательностей ) , т. е.

Если положить, что норма преобразования Фурье в пространстве равна

(при условии, что этот интеграл сходится), то предел нормы (5.33) при существует и равен

Таким образом, норма в пространстве равна максимальному значению по всем . С помощью норм в пространстве и равенства (5.32) сравнительно нетрудно определить границы для Например, если (т. е. максимум спектра входного сигнала конечен), то, согласно (5.32),

С помощью норм это соотношение можно записать в виде

Аналогично, если норма ограничена, то

(5.37)

Применяя к формуле (5.32) неравенство Шварца, получим

или

В общем случае можно показать, что

причем

Если , то при любых так что в данном частном случае соотношение (5.40) принимает вид

Неравенство (5.40) можно переписать, используя спектральные величины:

(5.42)

где — среднее значение модуля . Таким образом, из неравенств (5.42) и (5.41) следует, что среднее значение модуля ограничено величиной произведения , которая в то же время является ограничением и для .

Исходя из приведенных формул и нормы входной последовательности в пространстве , можно сформулировать достаточные условия для масштабирования. Допустим, например, что тогда норма масштабированного спектра пространстве должна удовлетворять условию

Наиболее важными парами чисел (р, q) являются . Вариант используется в том случае, когда известен максимум модуля входного спектра и ограничивается норма . Вариант р = 2, q = 2 соответствует случаю ограничения энергии входной последовательности и «энергии» частотной характеристики . При ограничивается максимум спектра .

Если входные сигналы являются случайными, неравенства (5.40) и (5.42) применять нельзя, так как для случайных процессов преобразование Фурье не определено. Вместо них можно получить эквивалентные неравенства, записанные относительно спектральной плотности мощности и автокорреляционной функции. Пусть — случайный сигнал с автокорреляционной функцией и спектральной плотностью мощности и пусть — случайный сигнал, образующийся в узле разветвления и имеющий автокорреляционную функцию и спектральную плотность мощности . Можно показать, что

или, что то же самое,

причем для обеих формул . Поскольку — , то из формул (5.44) и (5.45) следует, что дисперсия ограничена аналогичным образом. Действительно, если , причем входной сигнал имеет равномерный энергетический спектр (т. е. ), то из формулы (5.45) следует, что

Чтобы выполнялось соотношение необходимо, чтобы , т. е. чтобы «энергия» промасштабированной передаточной функции была ограничена величиной 1,0.