5.32. Колебания предельного цикла

При анализе шума округления в цифровых фильтрах предполагалось, что разность между соседними отсчетами входного сигнала велика по сравнению с шагом квантования. Это позволяло считать, что отсчеты шума округления некоррелированы как друг с другом, так и с отсчетами входной последовательности. Ясно, что во многих случаях (например, если входной сигнал постоянен или равен нулю) такое предположение несправедливо.

Рассмотрим в качестве примера разностное уравнение

(5.122)

и предположим, что входная последовательность (т. е. вход фильтра отключен), а начальное условие имеет вид (Значения переменной у выражаются в единицах шага квантования Q и поэтому не могут быть дробными.) В приводимой ниже таблице сопоставляются точные значения , рассчитанные, согласно уравнению (5.122), без использования округления, а также значения, получающиеся при расчетах с округлением.

Хотя точные значения экспоненциально стремятся к нулю, при использовании округления значения «затягиваются» на уровне, равном 10, и дальше уже не могут измениться. Рассмотренный пример иллюстрирует возникновение в рекурсивном цифровом фильтре эффекта предельного цикла при нулевом входном сигнале. Амплитудные интервалы, в которых возникают эффекты предельного цикла, Блэкман назвал мертвыми зонами. В рассмотренном примере при любом будет получаться, что , если . Таким образом, интервал является мертвой зоной.

Джексон исследовал предельные циклы в системах первого и второго порядка, используя понятие «эффективных значений» коэффициентов фильтра, т. е. учитывая, что предельные циклы возникают только тогда, когда округление фактически приводит к появлению полюсов на единичной окружности. Так, для системы, описываемой разностным уравнением первого порядка

(5.123)

где символ обозначает операцию округления до ближайшего целого, а при , мертвой зоной, в которой могут существовать предельные циклы, является интервал , причем к равно наибольшему целому числу, удовлетворяющему неравенству

(5.124)

Из приведенного примера следует, что при отрицательных а отсчеты на выходе фильтра в режиме предельного цикла имеют постоянные амплитуду и знак. Если же , то отсчеты на выходе в режиме предельного цикла будут иметь постоянную амплитуду, но чередующийся знак. При всех значениях в пределах мертвой зоны эффективное значение множителя а равно ±1, т. е. . Таким образом, разностному уравнению (5.123) соответствует эффективный полюс в точке .

Для системы второго порядка, описываемой разностным уравнением

(5.125)

мертвой зоной, в которой могут возникать эффекты предельного цикла, является интервал , где k — наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству

(5.126)

Формула (5.126) аналогична формуле (5.124), но а заменено на . При выполнении соотношения (5.126) полюсы фильтра наверняка попадают на единичную окружность, т. е. эффективное значение равно 1,0. (Отметим, что при полюсы будут комплексно сопряженными, а фильтр — устойчивым.) Частота колебаний в режиме предельного цикла определяется главным образом значением но зависит также и от того, как округление сказывается на величине произведения в формуле (5.125).

Из формулы (5.126) следует, что наименьшее значение при котором еще образуется пара эффективных комплексно сопряженных полюсов равно 0,5. В этом случае Следующее значение для которого эффекты предельного цикла возникают при большем значении k, равно 0,75. В этом случае или 2. При любом значении существует только конечное число интервалов значений , при которых могут возникать различные эффекты предельного цикла. Соответствующие области в плоскости для блока второго порядка, описываемого уравнением (5.125), показаны на фиг. 5.42. Область, в которой предельные циклы не возникают, отмечена штриховкой. Горизонтальные линии соответствуют минимальным значениям , при которых происходит изменение режима в мертвой зоне. Числа внутри каждой из областей обозначают максимальное значение амплитуды колебаний в режиме предельного цикла, возможных в этой области плоскости .

Фиг. 5.42. Зависимость амплитуды колебаний предельного цикла от коэффициентов фильтра (по Джексону).

Предельные циклы, возникающие при , будут рассмотрены ниже.

Выше были проанализированы эффекты предельного цикла в блоках второго порядка, соответствующие возникновению пары эффективных комплексно сопряженных полюсов. Предельные циклы в таких блоках могут существовать и при появлении действительного эффективного полюса в точке z = ±1. В этом случае условием возникновения режима предельного цикла с выходной амплитудой, равной к, является следующее равенство:

(5.127)

Для различных значений к нетрудно определить положение областей в плоскости , внутри которых выполняется условие (5.127). Эти области показаны на фиг. 5.42.

Изучение предельных циклов важно по двум причинам. В системах связи отключение сигнала может вызвать эффекты предельного цикла. Это весьма нежелательно, поскольку хотелось бы, чтобы при отсутствии входного сигнала на выходе канала ничего не было слышно. Поэтому при использовании цифровых фильтров в системах телефонии данной проблеме следует уделить достаточно серьезное внимание. Вторая причина заключается в том, что предельные циклы можно использовать для генерации периодических последовательностей. Колебания предельного цикла с нужными характеристиками можно использовать при цифровой обработке в качестве источника сигнала.

После выхода в свет работы Джексона, посвященной предельным циклам, уточнению границ для амплитуд и частот колебаний предельного цикла уделялось очень много внимания. Подробности можно найти в соответствующих публикациях.

ЛИТЕРАТУРА

Литература общего характера

1. Oppenheim А. V., Weinstein С. W., Effects of Finite Register Length in Digital Filters and the Fast Fourier Transform, Proc. IEEE, 60, No. 8, 957—976 (Aug. 1972); есть русский перевод: Оппенгейм, Вайнштейн, Влияние конечной длины регистра при цифровой фильтрации и быстром преобразовании Фурье, ТИИЭР, т. 60, № 8, стр. 41—65 (1972).

2. Gold В., Rader С. М., Digital Processing of Signals, Ch. 4, McGraw-Hill, 1969; есть русский перевод: Голд Б., Рэйдер Ч., Цифровая обработка сигналов, изд-во «Советское радио», 1973.

3. Liu В., Effect of Finite Word Length on the Accuracy of Digital Filters — A Review, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-18, 670—677 (Nov. 1971).

4. Bennett W. R., Spectra of Quantized Signals, Bell Syst. Tech. J., 27, 446— 472 (July 1948).

5. Rader С. M., Gold В., Effects of Parameter Quantization on the Poles of a Digital Filter, Proc. IEEE, 55, No. 5, 688—689 (May 1967); есть русский перевод: Рейдер, Голд, Влияние квантования параметров на полюсы цифрового фильтра, ТИИЭР, 55, № 55, стр. 98—100 (1967).

Шум округления в рекурсивных структурах. Случай фиксированной запятой

1. Knowles J. В., Edwards R., Effects of a Finite-Word-Length Computer in a Sainpled-Data Feedback System, Proc. Inst. Elec. Eng., 112, 1197— 1207 (June 1965).

2. Gold В., Rader С. M., Effects of Quantization Noise in Digital Filters, Proc. AFIPS 1966 Spring Joint Computer Conf., 28, 213—219 (1966).

3. Jackson L. В., On the Interaction of Roundoff Noise and Dynamic Range in Digital Filters, Bell Syst. Tech. J., 49, 159—184 (Feb. 1970).

4. Jackson L. В., Roundoff Noise Analysis for Fixed-Point Digital Filters Realized in Cascade or Parallel Form, IEEE Trans, on Audio and Electro-acoustics, AU-18, 107—122 (June 1970).

Шум округленна в нерекурсивных структурах. Случай фиксированной запятой

1. Chan D. S. К., Rabiner L. R., Theory of Roundoff Noise in Cascade Realizations of Finite Impulse Response Digital Filters, Bell Syst. Tech. J., 52, No. 3, 329-345 (March 1973).

2. Chan D. S. K., Rabiner L. R., An Algorithm for Minimizing Roundoff Noise in Cascade Realizations of Finite Impulse Response Digital Filters, Bell Syst. Tech. J., 52, No. 3, 347-385 (March 1973).

3. Chan D. S. K., Rabiner L. R., Analysis of Quantization Errors in the Direct Form for Finite Impulse Response Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 4, 354—366 (Aug. 1973).

Шум округления в рекурсивных структурах. Случай плавающей запятой

1. Sandberg I. W., Floating-Point Roundoff Accumulation in Digital Filter Realization, Bell Syst. Tech. J., 46, 1775—1791 (Oct. 1967).

2. Капеко Т., Liu В., Roundoff Error of Floating-Point Digital Filters, Proc. Ш Annual Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 219—227 (Oct. 1968).

3. Weinstein C., Oppenheim A. V., A Comparison of Roundoff Noise in Floating Point and Fixed Point Digital Filter Realizations, Proc. IEEE (Corresp.), 57, 1181—1183 (June 1969); есть русский перевод: Вайнштепн, Оппенгейм, Сравнение шумов округления цифровых фильтров при пх реализации по методу с плавающей запятой и по методу с фиксированной запятой, ТИИЭР, т. 57, № 7. стр. 72-74 (1969).

4. Liu В., Капеко Т., Error Analysis of Digital Filters with Floating-Point Arithmetic, Proc. IEEE, 57, 1735—1747 (Oct. 1969); есть русский перевод: Лиу, Канеко, Анализ погрешностей цифровых фильтров, реализуемых арифметическими операциями с плавающей запятой, ТИИЭР, т. 57, № 10, стр. 49—63 (1969).

5. Oppenheim А. V., Realization of Digital Filters Using Block Floating-Point Arithmetic, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-18, 130—136 (June 1970).

Колебания переполнения

1. Ebert P. M., Mazo J. E., Taylor M. G., Overflow Oscillations in Digital Filters, Bell Syst. Tech. J., 48, 3021—3030 (Nov. 1968).

Квантование коэффициентов в рекурсивных структурах

2. Kaiser J. F., Some Practical Considerations in the Realization od Linear Digital Filters, Proc. 3rd Annual Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 621 — 633 (1965).

3. Rader С. M., Gold В., Effects of Parameter Quantization on the Poles of a Digital Filter, Proc. IEEE (Corresp.), 55, 688—689 (May 1967).

4. Knowles J. В., Olcayto E. M., Coefficient Accuracy and Digital Filter Response, IEEE Trans. Circuit Theory, 15, No. 1, 31—41 (March 1968).

5. Avenhaus E., Schuessler H. W., On the Approximation Problem in the Design of Digital Filters with Limited Wordlength, Arch. Elek. Ubertragung, 24, 571—572 (1970).

Квантование коэффициентов в нерекурсивных структурах

1. Hermann О., Schuessler Н. W., On the Accuracy Problem in the Design of Nonrecursive Digital Filters, Arch. Elek. Ubertragung, 24, 525—526 (1970).

2. Chan D. S. K., Rabiner L. R., Analysis of Quantization Errors in the Direct Form for Finite Impulse Response Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 4, 354—366 (Aug. 1973).

3. Weinstein C. W., Quantization Effects in Frequency Sampling Filters, NEREM Record, 22 (1968).

Предельные циклы в рекурсивных структурах

1. Blackman R. В., Linear Data-Smoothing and Prediction in Theory and Practice, Addison-Wesley Puhl. Co., Reading, Mass., pp. 75—79 (1965).

2. Jackson L. В., An Analysis of Limit Cycles Due to Multiplication Rounding in Recursive Digital (Sub) Filters, Proc. 1th Annual Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 69—78 (1969).

3. Parker S. R., Hess S. F., Limit-Cycle Oscillations in Digital Filters, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-18, 687—696 (Nov. 1971).

4. Sandberg I. W., A Theory Concerning Limit Cycles in Digital Filters, Proc. 7th Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 63—67 (1969).

5. Brubaker T. A., Gowdy J. N., Limit Cycles in Digital Filters, IEEE Trans. Automatic Control, 17, No. 5, 675—677 (Oct. 1972).

6. Sandberg 1. W., Kaiser J. F., A Bound on Limit Cycles in Fixed-Point Implementations of Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-20, No. 2, 110—112 (June 1972).