5.20. Шум округления при построении нерекурсивных фильтров в прямой форме
Передаточную функцию КИХ-фильтра можно записать в виде
где 
— импульсная характеристика фильтра, состоящая из N отсчетов. (Для удобства будем считать, что 
нечетно.) Поскольку фазовая характеристика линейна, то должно выполняться условие
При этом равенство (5.66) можно преобразовать к виду
На фиг. 5.26 приведена блок-схема построения фильтра в прямой форме в соответствии с формулой (5.68). Видно, что можно обойтись (N+1)/2 умножителями, а не N, как в обычной прямой форме.
Свойства шума округления на выходе фильтра зависят от того, в каких точках фильтра производится округление. Возможны два варианта. В первом из них все произведения представляются точно, а округление производится после их сложения, т. е. на выходе фильтра. При этрм в схеме имеется только один источник шума, причем шум непосредственно складывается с выходным сигналом. В этом варианте выходной шум округления равномерно распределен на интервале 
, имеет нулевое среднее и дисперсию, равную 
, где Q — шаг квантования.
Фиг. 5.26. Прямая форма построения КИХ-фильтра с линейной фазовой характеристикой.
Во втором варианте все произведения округляются до суммирования (чтобы увеличить быстродействие фильтра), поэтому выходной шум 
является суммой (N + 1)/2 некоррелированных случайных последовательностей 
, каждая из которых имеет равномерное распределение на интервале 
, нулевое среднее и дисперсию, равную 
. В этом случае можно записать
Очевидно, что среднее значение 
равно нулю, а дисперсия
Из других видов шула квантования в фильтрах, построенных в прямой форме, обычно присутствует только шум аналого-цифрового преобразования. Покажем, что дисперсия этой составляющей шума на выходе фильтра (Тацп удовлетворяет соотношению
т. е. не превышает дисперсии шума округления, связанного с умножениями в фильтре. Обозначим через 
последовательность на входе фильтра, описывающую шум аналого-цифрового преобразования [
распределена в интервале 
равномерно], а через 
составляющую выходного шума, вызванную 
, так что 
удовлетворяет соотношению
Очевидно, что среднее значение 
равно нулю, а дисперсия
или, согласно теореме Парсеваля,
Можно показать, что в зависимости от выбранного значения масштабирующего множителя (т. е. от выбранной нормы в 
) будет выполняться одно из двух соотношений: либо
(5.75а)
(оно справедливо, если масштабирование производится по сумме модулей отсчетов импульсной характеристики), либо
(5.75б)
(при масштабировании с помощью норм в 
Таким образом, формула (5.71) будет справедлива в любом случае. Поэтому обычно при построении КИХ-фильтров в прямой форме шумом АЦП можно пренебречь. Отметим, что в приведенных выкладках предполагалось, что шаг квантования в АПП и при округлении был одинаков, хотя на практике это условие может и не соблюдаться.
