2.23. Свертка последовательностей

Если  и  — две периодические последовательности с периодами по  отсчетов и ДПФ, равными

                            (2.160)

                            (2.161)

то -точечное ДПФ последовательности , являющейся круговой (или периодической) сверткой последовательностей  и , т. е.

                  (2.162)

равно

                            (2.163)

Фиг. 2.29. Круговая (периодическая) свертка.

Поскольку из формулы (2.163) получаются важные следствия, ниже показано, как она выводится. Сначала необходимо разъяснить понятие круговой свертки. На фиг. 2.29, а, б изображены периодические последовательности  и , а на фиг. 2.29, в показано, как вычисляется значение круговой свертки (2.162) при . В силу периодичности последовательностей  и  достаточно рассматривать их на интервале . С изменением  последовательность смещается относительно . Когда отсчет  выходит за точку , точно такой же отсчет появляется в точке . Поэтому круговая свертка определяет свертку двух последовательностей, заданных на окружности.

Формулу (2.163) можно получить, найдя -точечное ДПФ правой части (2.162), т. е.

          (2.164)

Полученная формула справедлива и для конечных последовательностей, если рассматривать  и  как эквивалентные им периодические последовательности с теми же ДПФ. Однако для конечных последовательностей обычно нужна линейная (ее называют апериодической), а не круговая свертка, поэтому в приведенные формулы следует внести уточнения.