3.8. Первый метод расчета — метод взвешивания

Поскольку частотная характеристика любого цифрового фильтра  является периодической функцией частоты, ее можно представить рядом Фурье:

                      (3.45)

где

               (3.46)

Видно, что коэффициенты Фурье  совпадают с коэффициентами импульсной характеристики цифрового фильтра. Использование соотношения (3.45) для проектирования КИХ-фильтров связано с двумя трудностями. Во-первых, импульсная характеристика фильтра имеет бесконечную длину, поскольку суммирование в (3.45) производится в бесконечных пределах. Во-вторых, фильтр физически нереализуем, так как импульсная характеристика начинается в , т. е. никакая конечная задержка не сделает фильтр физически реализуемым. Итак, фильтр, рассчитываемый на основе представления функции  рядом Фурье, оказывается физически нереализуемым БИХ-фильтром.

Один из возможных методов получения КИХ-фильтра, аппроксимирующего заданную функцию , заключается в усечении бесконечного ряда Фурье (3.45) за . Однако простое усечение ряда приводит к хорошо известному явлению Гиббса, которое проявляется в виде выбросов и пульсаций определенного уровня до и после точки разрыва в аппроксимируемой частотной характеристике. Так, например, при аппроксимации стандартных фильтров типа идеального фильтра нижних частот или полосового фильтра максимальная амплитуда пульсаций частотной характеристики составляет около 9 % и не уменьшается с увеличением длины импульсной характеристики, т. е. учет все большего числа членов ряда Фурье не приводит к уменьшению максимальной амплитуды пульсаций. Вместо этого по мере увеличения  уменьшается ширина выброса. Поскольку простое усечение ряда (3.45) не приводит к приемлемой аппроксимации идеального фильтра нижних частот (к чему необходимо стремиться), этот метод непригоден для проектирования КИХ-фильтров.

Лучшие результаты дает метод проектирования КИХ-фильтров, основанный на использовании весовой последовательности конечной длины , называемой окном, для модификации коэффициентов Фурье  в формуле (3.45) с тем, чтобы управлять сходимостью ряда Фурье. Метод взвешивания иллюстрируется на фиг. 3.8. Сверху показаны заданная периодическая частотная характеристика  и ее коэффициенты Фурье . Ниже изображена весовая последовательность конечной длины  и ее преобразование Фурье . Для большинства приемлемых окон функция  имеет главный лепесток, содержащий почти всю энергию окна, и боковые лепестки, которые обычно быстро затухают. Чтобы получить КИХ-аппроксимацию функции , формируется последовательность , в точности равная нулю за пределами интервала . Третья пара графиков на фиг. 3.8 представляет последовательность  и ее преобразование Фурье , равное, очевидно, круговой свертке функций  и , поскольку  является произведением  и . Наконец, внизу на фиг. 3.8 приведена физически реализуемая последовательность , которая равна задержанной последовательности  и может быть использована в качестве искомой импульсной характеристики фильтра.

На простом примере, иллюстрируемом на фиг. 3.8, можно проследить влияние операции взвешивания коэффициентов Фурье фильтра на его частотную характеристику. Прежде всего по обе стороны от точек разрыва заданной функции  появляются переходные полосы. Ясно, что поскольку результирующая частотная характеристика фильтра равна круговой свертке идеальной частотной характеристики и частотной характеристики окна, то ширина переходных полос зависит от ширины главного лепестка функции . Кроме того, на всех частотах со возникают ошибки аппроксимации, имеющие вид пульсаций частотной характеристики, которые обусловлены боковыми лепестками функции . Ясно, наконец, и то, что получаемые фильтры ни в каком смысле не являются оптимальными (даже если окна и удовлетворяют тому или иному критерию оптимальности), поскольку их частотные характеристики рассчитываются через свертку.

Фиг. 3.8. Иллюстрация метода взвешивания.

После общего рассмотрения метода взвешивания возникают два вопроса: какими свойствами должны обладать окна и насколько точно они могут быть реализованы на практике? Ответ на первый вопрос относительно прост. Желательно, чтобы окно обладало следующими свойствами:

1.  Ширина главного лепестка частотной характеристики окна, содержащего по возможности большую часть общей энергии, должна быть малой.

2.  Энергия в боковых лепестках частотной характеристики окна должна быстро уменьшаться при приближении  к .

Было предложено много окон, аппроксимирующих заданные характеристики. В последующих разделах будут рассмотрены три окна, а именно прямоугольное окно, «обобщенное» окно Хэмминга и окно Кайзера. Эти окна обладают свойствами всех возможных видов окон и позволяют достаточно хорошо понять преимущества и недостатки метода взвешивания.