3.30. Использование алгоритма замены Ремеза для расчета оптимальных фильтров
Выше
было показано, что задачу проектирования оптимального КИХ-фильтра с линейной
фазой можно сформулировать как задачу чебышевской аппроксимации, причем
аппроксимирующая функция [
в формуле (3.110)] является суммой 
независимых
косинусоидальных функций. Необходимые и достаточные условия того, что взвешенная
функция ошибки 
вида
(3.110) обеспечивает единственное решение с наилучшей аппроксимацией заданной
частотной характеристики 
, сформулированы в
обобщенной теореме Чебышева.
В
общем виде процедура проектирования оптимального фильтра, основанная на
обобщенной теореме Чебышева, включает следующие этапы:
1.
Задание частотной характеристики 
весовой функции 
и длины
импульсной характеристики фильтра N.
2.
Формулировка соответствующей эквивалентной задачи аппроксимации, т. е. задание
, 
и 
.
3.
Решение задачи аппроксимации с использованием алгоритма многократной замены
Ремеза.
4.
Расчет импульсной характеристики фильтра.
На
этапе 1 разработчик имеет возможность влиять на алгоритм проектирования
фильтра, задавая тип фильтра и начальные условия. Этап 2, а именно формулировка
соответствующей эквивалентной задачи аппроксимации, уже обсуждался в разд.
3.26.
На
фиг. 3.45 изображена блок-схема использования алгоритма замены Ремеза для
решения задачи аппроксимации, т. е. для выполнения этапа 3. Для нахождения в
соответствии с обобщенной теоремой Чебышева 
экстремальных частот используется густая
сетка точек на оси частот.
Фиг. 3.45. Блок-схема алгоритма Ремеза (взята у
Паркса и Макклеллана).
Сначала
выбираются исходных
экстремальных частот, на которых функция ошибки должна принимать значения 
с меняющимся
знаком. С точки зрения исходной формулировки задачи последнее требование
означает, что для выбранной совокупности экстремальных частот 
, 
, необходимо решить
следующую систему уравнений вида:
(3.119)
или
в матричной форме (в предположении, что
]
(3.120)
Непосредственное
решение системы (3.120) — довольно сложный и длительный процесс; гораздо проще
найти аналитически:
(3.121)
где
(3.122)
(3.123)
После
вычисления для
интерполяции по
ее значениям в точках
,
равным
(3.124)
используется
интерполяционная формула Лагранжа в барицентрической форме:
(3.125)
где
(3.126)
и
.
Заметим,
что функция будет
также интерполироваться до значения 
, так как она удовлетворяет
уравнению (3.119). На следующем этапе вычисляется на густой сетке частот. Если 
для всех частот
этой густой сетки, то получена оптимальная аппроксимация. Если же 
для некоторых
частот этой густой сетки, то необходимо выбрать новую совокупность 
экстремальных
частот. Новые частоты выбираются в точках экстремумов полученной кривой
ошибки, в результате чего будет увеличиваться и, в конечном счете,
сойдется к ее верхней границе, что соответствует решению задачи. В случае если
на какой-либо итерации окажется более чем экстремумов функции для следующей
итерации в качестве экстремальных используются те частот, на которых модуль ошибки 
был наибольшим.
Этап
4 проектирования оптимальных фильтров, заключающийся в расчете импульсной
характеристики, сводится к вычислению отсчетов на 
равноотстоящих
частотах (где 
) и использованию
ДПФ для получения последовательности 
, из которой можно затем найти
коэффициенты импульсной характеристики. Каждому из четырех видов фильтров с
линейной фазой соответствует своя формула, однозначно связывающая 
с 
.
С
учетом вышеизложенного была составлена общая программа расчета КИХ-фильтров с
линейной фазой (она приведена в приложении в конце настоящей главы). На фиг.
3.46 представлена блок-схема этой программы. Она имеет вводную часть (соответствующую
этапу 1 проектирования), предназначенную для расчета разнообразных
многополосных фильтров, включая фильтры нижних и верхних частот, полосовые и
режекторные, а также дифференциаторы и преобразователи Гильберта. Перечислим
возможности и ограничения приведенной в приложении программы:
Фиг. 3.46. Блок-схема алгоритма расчета фильтров.
1. Длина импульсной
характеристики фильтра (метка 
) ограничена пределами
.
2. Типы фильтров
(метка 
):
а) многополосный
полосовой или режекторный фильтр (
);
б) дифференциатор
(
);
в) преобразователь
Гильберта (
).
3.
Число
полос, задаваемых верхней и нижней частотами среза, не превышает 10.
4.
Частотная
характеристика в каждой из полос задается независимо.
5.
Весовая
функция в каждой из полос также задается независимо.
Сетка
частот 
,
используемая в алгоритме, иллюстрированном на фиг. 3.46, представляет густую
сетку частот в каждой из полос, где выполняется аппроксимация. С помощью подпрограмм
и 
по заданным
характеристикам автоматически производится вычисление весовой функции и
частотной характеристики. Подпрограмма 
работает в точности так, как было
описано в данном разделе. Чтобы помочь разработчику освоить приведенную
программу, в приложении даны примеры расчета по этой программе нескольких
различных фильтров.
Прежде
чем перейти к обсуждению свойств некоторых классов оптимальных фильтров, в
разд. 3.31 будет показано, каким образом для расчета оптимальных КИХ-фильтров
с линейной фазой можно использовать также методы линейного программирования.
