5.6. Системы счисления с плавающей запятой

В системах счисления с плавающей запятой положительные числа представляются с помощью двух чисел с фиксированной запятой — мантиссы и порядка. Число с плавающей запятой равно произведению мантиссы m и числа, получающегося при возведении основания системы (обычно равного 2) в степень, равную порядку а, т. е.

Мантиссу m обычно нормируют так, чтобы она имела наибольшее возможное значение, но не превышала некоторого предела, например числа 1,0. В данной главе будет предполагаться, что мантисса приводится к интервалу

Таким образом, десятичные числа 3,0; 1,5 и 0,75 в системе счисления с плавающей запятой (при основании 2) изображаются соответственно как и .

Отрицательные числа с плавающей запятой обычно образуют, представляя мантиссу числом с фиксированной запятой, имеющим знак. Таким образом, знак числа с плавающей запятой определяется старшим разрядом мантиссы. Порядок также является числом с фиксированной запятой и со знаком, а с помощью отрицательных порядков записываются числа, модуль которых меньше 0,5.

Все b разрядов числа с плавающей запятой следует разделить на две группы: разрядов задают мантиссу, а — порядок. При заданном числе разрядов b с увеличением разрядности порядка расширяется динамический диапазон представляемых чисел, но снижается точность их представления. В большинстве случаев при использовании чисел с плавающей запятой (например, при обработке на ЦВМ с использованием языков программирования высокого уровня) . Так, например, в ЦВМ с -разрядными словами 27 разрядов отводятся для мантиссы и 9 — для порядка. Это позволяет представить с плавающей запятой числа , лежащие в диапазоне

причем мантисса представляется с точностью около .

Перемножение чисел с плавающей запятой производится следующим образом. Пусть

Тогда произведение образуется по формуле

т. е. мантиссы перемножаются как числа с фиксированной запятой, а порядки складываются. Величина произведения мантисс находится в пределах от 0,25 до 1, т. е. может не соответствовать условию нормирования. В этом случае для нормирования произведения необходимо изменить порядок Так, произведение десятичных чисел 1,25 X 1,25 (при ) будет равно .

Сложение чисел с плавающей запятой оказывается более сложной операцией, чем сложение чисел с фиксированной запятой. Чтобы сложить два числа, меньшее из них нужно изменить так, чтобы его порядок равнялся порядку большего числа. При этом меньшее число станет ненормированным. Далее обе мантиссы складываются, а результат нормируется согласно условию (5.8). При этом порядок суммы может измениться. В качестве примера рассмотрим сложение двух чисел с плавающей запятой, считая, что мантиссы и порядки представлены в дополнительном коде:

В данном случае нормированное число было преобразовано в ненормированное число которое затем было сложено с , а результат оказался ненормированным числом.

Из приведенных рассуждений можно сделать вывод, что при представлении чисел с плавающей запятой ошибки округления или усечения могут возникать как при умножении, так и при сложении, тогда как при использовании фиксированной запятой они имеют место только при умножении. Однако во втором случае возможны переполнения, а в первом случае ввиду значительно большего динамического диапазона чисел они весьма маловероятны.