Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
2.14. Соотношение между z-преобразованием и фурье-преобразованием последовательности
z-преобразование последовательности можно
рассматривать как способ ее однозначного представления в комплексной z-плоскости. Из
определения (2.67) видно, что z-преобразование, вычисленное на
единичной окружности, т. е. при 
, дает
(2.68)
что
совпадает с преобразованием Фурье исходной последовательности. Ниже будет
также показано, что если все особые точки 
расположены
внутри круга единичного радиуса, то система с соответствующей импульсной
характеристикой является устойчивой. Поэтому единичная окружность в z-плоскости
играет весьма важную роль. Например, имеется немало важных нереализуемых
систем (таких, как идеальный фильтр нижних частот или идеальный
дифференциатор), z-преобразования которых сходятся только на
единичной окружности, т. е. эти системы имеют фурье-преобразование, но не имеют
z-преобразования.
Обычным
способом графического изображения информации, содержащейся в z-преобразовании,
является задание особых точек (полюсов) и нулей функции . Так, например, z-преобразование,
рассмотренное в примере 4, может быть представлено так же, как на фиг. 2.16,
где крестиками изображены полюсы, а кружками — нули функции . C помощью такого
изображения расположения нулей и полюсов, а также используя дополнительное
предположение о физической реализуемости системы, можно однозначно (с
точностью до постоянного множителя) восстановить z-преобразование.
Фиг. 2.16. Расположение нулей и полюсов для систем
первого и второго порядка.
Пример 5. Найдем z-преобразование
системы со следующей импульсной характеристикой:
Решение. Используя определение z-преобразования,
получим
сходится при 
. Расположение нулей
и полюсов такого резонатора в z-плоскости показано на фиг. 2.16, б. Он имеет пару комплексно сопряженных
полюсов в точках 
и двойной нуль при 
.
Как уже упоминалось, зная расположение нулей и полюсов
функции , ее можно восстановить. Так, если известно, что функция имеет 
полюсов
в точках 
и 
нулей
в точках 
, то она может быть записана в виде отношения произведений
(2.69)
где 
— произвольная постоянная. Перемножив
сомножители, получим, что наиболее общей формой является дробно-рациональная функция от 
, т. е.
(2.70)
Полученное выражение весьма часто используется при синтезе
фильтров.
