2.14. Соотношение между z-преобразованием и фурье-преобразованием последовательности

z-преобразование последовательности можно рассматривать как способ ее однозначного представления в комплексной z-плоскости. Из определения (2.67) видно, что z-преобразование, вычисленное на единичной окружности, т. е. при , дает

       (2.68)

что совпадает с преобразованием Фурье исходной последовательности. Ниже будет также показано, что если все особые точки  расположены внутри круга единичного радиуса, то система с соответствующей импульсной характеристикой является устойчивой. Поэтому единичная окружность в z-плоскости играет весьма важную роль. Например, имеется немало важных нереализуемых систем (таких, как идеальный фильтр нижних частот или идеальный дифференциатор), z-преобразования которых сходятся только на единичной окружности, т. е. эти системы имеют фурье-преобразование, но не имеют z-преобразования.

Обычным способом графического изображения информации, содержащейся в z-преобразовании, является задание особых точек (полюсов) и нулей функции . Так, например, z-преобразование, рассмотренное в примере 4, может быть представлено так же, как на фиг. 2.16, где крестиками изображены полюсы, а кружками — нули функции . C помощью такого изображения расположения нулей и полюсов, а также используя дополнительное предположение о физической реализуемости системы, можно однозначно (с точностью до постоянного множителя) восстановить z-преобразование.

Фиг. 2.16. Расположение нулей и полюсов для систем первого и второго порядка.

Пример 5. Найдем z-преобразование системы со следующей импульсной характеристикой:

Решение. Используя определение z-преобразования, получим

  сходится при . Расположение нулей и полюсов такого резонатора в z-плоскости показано на фиг. 2.16, б. Он имеет пару комплексно сопряженных полюсов в точках  и двойной нуль при .

Как уже упоминалось, зная расположение нулей и полюсов функции , ее можно восстановить. Так, если известно, что функция  имеет  полюсов в точках  и  нулей в точках , то она может быть записана в виде отношения произведений

               (2.69)

где  — произвольная постоянная. Перемножив сомножители, получим, что наиболее общей формой  является дробно-рациональная функция от , т. е.

                              (2.70)

Полученное выражение весьма часто используется при синтезе фильтров.