Проективные отображения; основная теорема.
Проективным называется такое отображение проективной плоскости Р на некоторую другую проективную плоскость Р (которая может и совпадать с плоскостью Р, и тогда говорят о проективном преобразовании плоскости Р, которое, во-первых, является точечным взаимно однозначным отображением и, во-вторых, прямолинейно расположенные совокупности точек плоскости Р переводит в прямолинейно же расположенные совокупности точек плоскости Р, и обратно. (При этом под точками и прямыми все время понимаются как собственные, так и несобственные точки и прямые.)
Очевидно, что две какие, угодно перспективные проекции одной и той же плоскости Р на некоторую плоскость П получаются проективными преобразованиями друг из друга.
Действительно: 1° точки их (собственные и несобственные) взаимно однозначно связаны с точками (собственными и несобственными) проектируемой плоскости Р, а следовательно, и между собою, и 2° прямолинейно расположенным точкам 1-й проекции соответствуют прямолинейно расположенные точки плоскости Р, а, следовательно, и 2-й проекции, и обратно. Поэтому упомянутая выше теорема теории перспективы является непосредственным следствием такой теоремы о проективных преобразованиях: если при некотором проективном преобразовании плоскости П точки ее А, В, С, D, образующие четверку общего положения, остаются на месте, то и все ее точки остаются на месте.
Наметим идею доказательства этой теоремы при помощи так называемой сетки Мёбиуса.
Заметим, что 1) если при проективном преобразовании две точки остаются на месте, то прямая, через них проходящая, переходит в сёбя, и 2) если две прямые переходят в себя, то точка их пересечения остается на месте. Поэтому из того, что точки А, В, С, D плоскости П остаются на месте, выходит последовательно, что и точки Е, F, G, Н, К, L и т. д.
тоже остаются на месте (рис. 81). Построение таких точек можно продолжить, соединяя, уже полученные точки. Это — так называемая сетка Мёбиуса. Продолжая ее построение, можно сгущать ее до бесконечности: Можно показать, чт.о совокупность ее узлов везде плотно покрывает всю плоскость. Поэтому, если еще предположить непрерывность проективного преобразования (что, впрочем, уже следует из его определения, но не очень просто), то окажется, что если при проективном преобразовании плоскости [I точки А, В, С, D остаются на месте, то и все точки плоскости П остаются на месте.
