Две основные нерешенные задачи, связанные с теорией Галуа.
В теории Галуа остались два основных дальнейших вопроса, которые не удалось разрешить в общем виде и до настоящего времени, хотя над ними неустанно работали многие крупные математики.
Первый — это вопрос о так называемых резольвентах Гильберта — Чеботарева (не путать с резольвентами Лагранжа), являющийся прямым обобщением вопроса о решении уравнения в радикалах. Дело в том, что сказать, что уравнение решается в радикалах, или сказать, что его решение сводится к решению цепи последовательных двучленных уравнений, — это одно и то же, так как радикал 
есть, иначе говоря, корень двучленного уравнения 
Но может быть, что хотя уравнение и нельзя свести к цепи таких простых уравнений как двучленные, его все же можно свести к цепи каких-либо других очень простых уравнений. Еще в конце XVIII в. было показано, что общее уравнение 5-й степени можно свести к цепи двучленных уравнений и еще одному уравнению вида 
которое, хотя и не двучленное, но имеет только один параметр А, т. e. как и двучленные, — однопараметрическое.
Позже было показано, что уже уравнение 6-й степени нельзя свести к цепи однопараметрических уравнений. Требуется для уравнений каждой степени решить вопрос, к цепи каких простейших, т. е. с минимальными числами параметров, уравнений оно может быть сведено.
Если заданное уравнение сводится к цепи однопараметрических уравнений определенных типов, то для каждого из этих однопараметрических уравнений можно вычислить таблицу, дающую его корень по величине его параметра. Тогда решение заданного уравнения сводится к использованию цепи таких таблиц.
Второй, еще более глубокий вопрос состоит в обращении теории Галуа. Галуа показал, что свойства решения уравнения зависят от его группы. Но обратно, всякая ли группа перестановок может быть группой Галуа некоторого уравнения и каковы все те уравнения, группой которых она является.
Относительно первого вопроса были известны лишь частные результаты, хотя над ними упорно работали такие крупнейшие математики, как Клейн и Гильберт; первые общие теоремы были доказаны замечательным советским алгебраистом Н. Г. Чеботаревым.
Второй вопрос для так называемых разрешимых групп, т. е. групп, удовлетворяющих критерию Галуа (см. стр. 264), решен в положительном смысле в последние годы советским математиком И. Р. Шафаревичем.
