Уравнение эллипса и его фокальное свойство.

Пусть заданы две точки расстояние между которыми равно Найдем уравнение геометрического места всех точек М плоскости, сумма расстояний от которых до точек равна некоторой постоянной величине 2а (где а, конечно, больше с). Такая линия называется эллипсом, а точки его фокусами.

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы точки лежали на оси и начало координат лежало посредине между ними. Тогда координаты точек будут Возьмем произвольную точку М с координатами принадлежащую исследуемому геометрическому месту, и напишем, что сумма расстояний от нее до точек равна 2а

Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки рассматриваемого геометрического места. Очевидно и обратное, а именно, что любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (6) принадлежит Этому геометрическому месту. Уравнение (6) есть, таким образом, уравнение рассматриваемого геометрического места. Остается его упростить.

Возведя обе части в квадрат, получим

или после упрощения

Возведя снова обе части в квадрат, получим

или после упрощения

Положив здесь (что можно сделать, так как ), получаем. а разделив всё на будем иметь

Координаты любой точки рассматриваемого геометрического места удовлетворяют, таким образом, уравнению (7).

Можно показать, что и наоборот, если координаты некоторой точки удовлетворяют уравнению (7), то они удовлетворяют и уравнению (6).

Рис. 14.

Рис. 15.

Уравнение (7) есть, следовательно, уравнение этого геометрического места, т. е. уравнение эллипса (рис. 14).

Проведенные рассуждения являются классическим примером отыскания уравнения линии, заданной некоторым ее геометрическим свойством.

На свойстве эллипса, что сумма расстояний любой его точки от двух данных точек есть величина постоянная, основан известный способ чертить эллипс при помощи нитки (рис. 15).

Замечание. Для определения того, какая линия называется эллипсом, можно было бы взять не рассмотренное здесь фокальное свойство эллипса, а какое-либо другое геометрическое свойство, его характеризующее, например то, что эллипс есть результат «равномерного сжатия» окружности к ее диаметру (см. стр. 220) или какое-либо иное.

Положив в уравнении (7) эллипса мы получим а, т. е. а есть длина отрезка ОА (см. рис. 14), называемого большой полуосью эллипса. Аналогично положив получим, что т. е., что — длина отрезка называемого малой полуосью эллипса.

Число называется эксцентриситетом эллипса, причем так как то эксцентриситет эллипса меньше единицы. В случае окружности и следовательно ; фокусы оба в одной точке — в центре окружности (так как ), но предыдущий способ черчения ниткой все же сохраняется.