Смысл второй производной. Выпуклость и вогнутость.

Вторая производная имеет простой механический смысл. Пусть есть закон прямолинейного движения точки, тогда — скорость, — «скорость изменения скорости» или, проще, ускорение точки в момент времени Например, для случая падения тел

т. e. ускорение падающих тел постоянно.

Вторая производная имеет простой геометрический смысл. Как по знану первой производной можно определить, возрастает или убывает функция, так по знаку второй производной можно судить, в какую сторону изгибается линия графика функции.

Рис. 17.

Если на некотором участке вторая производная все время положительна, то первая производная возрастает, следовательно, возрастает , а потому растет и сам угол а наклона касательной к графику (рис. 17). При этом по мере продвижения вдоль кривой с переходом

к последующим участкам кривая поворачивается все время в одну и ту же сторону и располагается, как говорят, «выпуклостью вниз».

Рис. 18.

Напротив, на участке, где вторая производная все время отрицательна (рис. 18), линия графика функции оказывается изогнутой «выпуклостью вверх».