§ 4. АРИФМЕТИКА И ГЕОМЕТРИЯ

1. До сих пор мы рассматривали арифметику и геометрию отдельно друг от друга. Их взаимная связь, а стало быть, вообще связь математических теорий, ускользнула от нашего внимания. А между тем эта связь имеет исключительно большое значение. Взаимное проникновение теорий движет математику вперед, раскрывает богатство отраженных этими теориями связей действительности.

Арифметика и геометрия не только применяются одна к другой, на служат при этом истоками дальнейших общих идей, методов и теорий. В конечном счете арифметика и геометрия — это два корня, из которых росла математика. Их взаимодействие восходит к тем временам, когда сами они только зарождались. Уже простое измерение длины есть соединение геометрии и арифметики. Измеряя длину предмета, мы откладываем на нем некоторую единицу длины и считаем, сколько раз это можно сделать; первая операция (откладывание) — геометрическая, вторая (счет) — арифметическая. Отсчитывая шаги на дороге, каждый уже соединяет эти две операции.

Вообще измерение любой величины соединяет счет с какой-либо специфической для этого сорта величин операцией. Достаточно вспомнить измерение жидкости мерным сосудом или измерение интервала времени по счету ударов маятника.

Однако при измерении обнаруживается, что, вообще говоря, выбранная единица не укладывается в Измеряемой величине целое число раз и что простым счетом единиц при измерении обойтись нельзя. Тогда нужно единицу делить, чтобы выразить величину точнее посредством долей единицы, т. е. уже не целыми числами, а дробями. Дроби так фактически и возникли, как показывает анализ относящихся сюда исторических и других данных. Они возникли из деления и сравнения непрерывных величин, т. е. из измерения. Первые величины, которые люди измеряли, были геометрические величины: длины, площади посевов, объемы жидкостей и сыпучих тел. Стало быть, уже в возникновении дробей мы видим взаимодействие арифметики и геометрии. Это взаимодействие ведет к появлению важного нового понятия дроби, к расширению понятия числа от чисел целых к числам дробным (или, как говорят математики, к числам рациональным, выражающимся отношением целых чисел). Дроби не возникли и не могли возникнуть из деления целых чисел, потому что целыми числами считают целые предметы. Три человека, три стрелы и т. д. все это имеет смысл, но две трети человека и даже треть стрелы представляет собой бессмыслицу; даже тремя отдельными третями стрелы не убить оленя, — для этого нужна целая стрела.

2. В развитии понятия числа, связанном с взаимодействием арифметики и геометрии, появление дробей было только первым этапом. Следующим было открытие несоизмеримых отрезков. Напомним, что отрезки называются несоизмеримыми, если не существует отрезка, который в обоих укладывается целое число раз, или, иными словами, если их отношение не выражается обычной дробью, т. е. отношением целых чисел.

Сначала люди просто не очень задумывались над тем, можно ли, скажем, всякую длину выразить дробью. Если при делении или измерении доходили до слишком мелких долей, их просто отбрасывали: бесконечное уточнение измерения практически не имело смысла. Демокрит выдвинул даже представление, что геометрические фигуры состоят из своего рода атомов. По Демокриту, отрезки — это ряды атомов, и потому отношение отрезков есть просто отношение чисел атомов в них, т. е. заведомо выражается дробью. Это представление, которое, на наш взгляд, может показаться довольно странным, оказалось очень плодотворным при определении площадей и объемов. Площадь вычислялась как сумма рядов, составленных из атомов, а объем — как сумма атомных слоев. Таким путем Демокрит нашел, например, объем конуса. Читатель, имеющий понятие об интегральном исчислении, легко заметит, что в этом приеме уже заключен прообраз определения площадей и объемов методами интегрального исчисления

(Кроме того, обращаясь мысленно к временам Демокрита, нужно постараться освободиться от ставших теперь привычными представлений, закрепленных развитием математики. Во время Демокрита геометрические фигуры еще не отрывались от реальных в той мере, в какой это делают теперь. Поэтому, мысля вещественные тела состоящими из атомов, Демокрит, естественно, должен был считать, что и геометрические фигуры состоят из атомов.)

Однако представление о том, что отрезки состоят из атомов, вступило в противоречие с теоремой Пифагора, так как из нее следует, что существуют несоизмеримые отрезки; например, диагональ квадрата не соизмерима с его стороной, т. е. отношение их не выражается отношением целых чисел.

Докажем, что сторона и диагональ квадрата действительно несоизмеримы. Если а — сторона, диагональ, квадрата, то по теореме Пифагора и, стало быть,

Между тем нет такой дроби, квадрат которой равнялся бы 2. В самом деле, допустим противное, и пусть ряд — целые числа, для которых

причем мы можем, конечно, считать, что уже не имеют общего делителя: иначе дробь можно было бы сократить. Но если и потому делится на 2. В таком случае делится на 4, ибо это есть квадрат целого числа. Поэтому Отсюда следует, что тоже должно делиться на 2. Это, однако, противоречит тому условию, что не имеют общего делителя. Полученное противоречие доказывает, что отношение — не может выражаться рациональным числом. Диагональ и сторона квадрата оказываются несоизмеримыми.

Это открытие произвело на греческих ученых громадное впечатление. Теперь, когда мы уже привыкли к иррациональным числам и легко действуем с квадратными и иными корнями, существование несоизмеримых отрезков нас нимало не смущает. Но в V в. до н. э. для греческих ученых открытие таких отрезков выглядело совершенно иначе. Ведь понятия иррационального числа у них не было, символа вроде У 2 они не писали, и потому для них полученный результат означал, что отношение диагонали и стороны квадрата вообще не выражается никаким числом.

В существовании несоизмеримых отрезков грекам открывалась некая тайна, заключенная в непрерывности, — одно из выражений диалектического противоречия, заложенного в непрерывности и движении. Обсуждением этого противоречия занимались знаменитые греческие философы, среди которых особенно известен своими парадоксами Зенон Элейский.

Греки создали теорию отношений отрезков (и величин вообще), учитывающую существование несоизмеримых отрезков; она изложена в «Началах» Эвклида, и в упрощенном виде ее излагают и теперь в школьном курсе геометрии. Но осознать, что отношение одного отрезка к другому, принятому за единицу, т. е. попросту длину отрезка, можно рассматривать тоже как число, обобщая этим самое понятие о числе, — до этой идеи греки так и не смогли подняться: понятие иррационального числа у них так и не возникло. Это было сделано в более позднюю эпоху математиками Востока; а общее, математически строгое определение действительного числа, не опирающееся непосредственно на геометрию, было дано только совсем недавно: в 70-х годах прошлого столетия. Такой громадный промежуток времени, протекший с тех пор, как было создана теория отношений, показывает, с каким трудом возникают и точно формулируются абстрактные понятия.

3. Характеризуя понятие о действительном числе, Ньютон в своей «Всеобщей арифметике», писал: «Под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение какого-либо количества к другому, принятому за единицу». Это число (отношение) может быть целым, рациональным или иррациональным, если данная величина не соизмерима с единицей.

Действительное, или, что то же самое, вещественное, число по своему исходному смыслу есть, следовательно, не что иное, как отношение одной величины к другой, принятой за единицу; в частном случае — это отношение отрезков, но может быть отношением площадей, весов и т. п.

Стало быть, действительное число есть отношение величин, вообще, рассматриваемое в отвлечении от их конкретной природы.

Подобно тому, как отвлеченные целые числа становятся предметом математики не каждое в отдельности, а лишь в связи друг с другом, в системе

целых чисел, так и отвлеченные действительные числа имеют содержание и оказываются предметом математики лишь в связи друг с другом, т. е. в системе действительных чисел.

В теории действительных чисел, как и в арифметике, прежде всего определяются действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление, а также отношение между числами, выражаемое словами «больше» и «меньше». Эти действия и отношения отражают реальные связи различных величин, как, например, сложение отражает сложение отрезков. Начало действий с отвлеченными действительными числами было положено в средние века математиками Востока. Позже было постепенно выявлено важнейшее свойство системы действительных чисел — ее непрерывность. Система действительных чисел — это абстрактный образ всевозможных значений непрерывно изменяющейся величины.

Таким образом, подобно арифметике целых чисел, арифметика действительных чисел имеет своим предметом реальные количественные отношения непрерывных величин, которые она изучает в их общем виде, в полном отвлечении от всякой конкретности. Именно потому, что в понятии действительного числа выделяется общее всем непрерывным величинам, оно имеет столь широкое применение: значения разных величин, будь то длина, вес, сила электрического тока, энергия и т. п., выражаются числами, а зависимость, связь между величинами изображаются, как зависимость между их численными значениями.

Для того, чтобы общее понятие о действительных числах могло служить основанием математической теории, нужно дать формально математическое их определение. Это можно сделать разными путями, но, пожалуй, естественнее всего исходить из самого процесса измерения величин, который как раз и служил практическим источником обобщения понятия о числе. Мы будем говорить о длине отрезков, но читатель легко заметит, что точно так же можно было бы рассуждать о любых других величинах, допускающих неограниченное деление.

Пусть мы хотим измерить отрезок посредством принятого за единицу отрезка (рис. 1). Откладываем отрезок на например от точки А, пока он еще укладывается в

Рис. 1.

Пусть он отложился раз. Если после этого от отрезка остался еще остаток то делим отрезок на десять частей и измеряем остаток этими десятыми долями. Пусть в остатке отложилось десятых долей. Если и после этого есть остаток, то делим нашу мерку еще раз на десять частей, т. е. делим на сотые доли, и повторяем ту же операцию, и т. д. Либо процесс измерения кончится, либо он будет продолжаться. Но во всяком случае мы будем получать, что в отрезке укладывается целых отрезков десятых, сотых и т. д. Словом, мы будем получать отношение к все с большей точностью: до десятых, до сотых и т. д. Само отношение представится, стало быть, десятичной дробью с целыми, десятыми и т. д.

Эта дробь может быть бесконечной, что означает возможность неограниченного уточнения измерения.

Итак, отношение отрезков (и величин вообще) представимо всегда десятичной дробью (конечной или бесконечной). Однако в десятичной дроби уже нет следов самой конкретной величины. Поэтому она дает как раз отвлеченное отношение, т. е. действительное число. Действительное число формально так и можно определить как конечную или бесконечную десятичную дробь.

Для того, чтобы довести дело до конца, нужно еще определить действия (сложение и т. над десятичными дробями. Это делается таким образом, чтобы определяемые действия над десятичными дробями отвечали действиям над величинами. Так, при сложении отрезков их длины складываются, т. е. длина отрезка равна сумме длин . В определении действий над действительными числами есть та трудность, что числа эти представляются, вообще говоря, бесконечными десятичными дробями, тогда как обычные известные правила действий относятся к конечным десятичным дробям. В связи с этим строгое определение действий с бесконечными дробями дается следующим путем. Пусть, например, нам нужно сложить два числа а и Берем соответствующие десятичные дроби с точностью до данного знака, иапример до миллионных, и складываем их. Тогда получим сумму а с соответствующей точностью (до двух миллионных, так как ошибки от а и могут сложиться). Таким образом, мы можем определить сумму двух чисел с любой степенью точности, и в этом смысле их сумма оказывается вполне определенной, хотя на каждом этапе вычисления она известна лишь с некоторой точностью. Это, однако, отвечает существу дела, потому что каждая величина а и также измеряется с некоторой точностью, и точное значение, представляемое бесконечной десятичной дробью, получается как результат неограниченно продолжаемого возможного уточнения значения величины.

Отношение «больше», «меньше» может быть затем определено через сложение: если существует такое с, что о (речь идет о положительных числах).

Непрерывность ряда действительных чисел выражается в том, что если числа возрастают, а убывают, оставаясь при этом всегда больше чисел то между теми и другими числами всегда есть еще какое-либо число с.

Рис. 2.

Наглядно это изображается на прямой, если ее точки по известному правилу сопоставить с числами (рис. 2). Здесь ясно видно, что наличие числа с и соответствующей ему точки как раз означает отсутствие разрыва в ряду чисел, т. е. непрерывность ряда чисел.

4. Уже на примере взаимодействия арифметики и геометрии можно видеть, что развитие математики происходит в процессе борьбы многих сплетающихся в ней противоположностей: конкретного и абстрактного, частного и общего, формального и содержательного, конечного и бесконечного, прерывного и непрерывного и т. д.

Попробуем, например, проследить противоположность конкретного и абстрактного в самом создании понятия действительного числа. Как мы видели, действительное число отражает бесконечно уточняемый процесс измерения или, в несколько ином понимании, абсолютно, бесконечно точное

значение величины. Это соответствует тому, что в геометрии рассматривают идеально точные формы и размеры тел, вовсе отвлекаясь от подвижности и некоторой неопределенности реальных форм и размеров конкретных предметов. Выше мы рассуждали об измерении именно идеального отрезка.

Однако идеально точные геометрические формы и абсолютно точные значения величин представляют собою абстракции. Никакой конкретный предмет не имеет абсолютно точной формы, как никакая конкретная величина не только не измерима абсолютно точно, но и не имеет абсолютно точного значения. Длины линеек, например, не имеют смысла, если их уточнять за пределы атомных масштабов. Всегда за известными пределами количественного уточнения происходит качественное изменение величины, и она теряет вообще свой первоначальный смысл. Например, давление газа нельзя уточнять за пределы силы удара одной молекулы; электрический заряд перестает быть непрерывным, когда уточняется до заряда электрона и т. п. Ввиду отсутствия в природе предметов идеально-точной формы, утверждение о том, что отношение диагонали квадрата к стороне равно , не только нельзя абсолютно точно вывести из непосредственного измерения, но оно и не имеет абсолютно точного смысла ни для какого конкретного реального квадрата.

Вывод о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата вытекает, как мы видели, из теоремы Пифагора. Это — теоретический вывод в развитие данных опыта; он есть результат применения логики к исходным, взятым из опыта, посылкам геометрии.

Таким образом, понятие о несоизмеримых отрезках и тем более а действительном числе не есть простое, непосредственное отражение опытных фактов, но идет как бы дальше их. Это, однако, понятно. Действительное число не отражает какую-либо данную конкретную величину, а величину воооще в отвлечении от всякой конкретности, иными словами, оно отражает общее в реальных частных величинах. Это общее состоит, в частности, в том, что значение величин вообще можно уточнять, и если мы отвлеклись от конкретных величин, то граница этого возможного уточнения, зависящая от конкретной природы величины, становится неопределенной и исчезает.

Таким образом, математическая теория величин, рассматривающая величины в отвлечении от их индивидуальной природы, неизбежно должна рассматривать возможность неограниченного уточнения значения величины и тем самым должна приводить к понятию действительного числа. Вместе с тем, отражая только общее в разных величинах, математика не учитывает особенностей каждого отдельного случая. «Всякое отдельное, — как отмечает В. И. Ленин, — неполно входит в общее...»

Выделяя общие свойства, математика рассматривает выработанные ею четко разграниченные абстракции независимо от реальных

границ их применимости» И это происходит именно потому, что границы эти не обладают той же общностью; они зависят от конкретных свойств рассматриваемых явлений, от качественной смены этих явлений. Поэтому, применяя математику, необходимо проверять обоснованность самого применения той или иной теории. Так, рассматривать вещество как непрерывное и описывать его свойства непрерывными величинами допустимо лишь тогда, когда можно отвлечься от его атомного строения, а это возможно лишь при известных условиях в некоторых пределах.

Несмотря на это, действительные числа представляют собой проверенное и мощное средство математического исследования реальных непрерывных величин и процессов. Теория их обоснована практикой — необозримым полем применений в физике, технике, химии. Стало быть, практика доказывает, что понятие действительного числа правильно отражает общие свойства величин. Но эта правильность не безгранична; теорию действительных чисел нельзя рассматривать как нечто абсолютное, допускающее неограниченное абстрактное развитие в полном отвлечении от действительности. Само понятие о действительном числе продолжает развиваться и фактически далеко еще не является абсолютно законченным.

5. Роль еще одной из названных выше противоположностей — противоположности дискретного и непрерывного можно также проследить на примере развития понятия числа. Мы уже видели, что дроби возникли из деления непрерывных величин.

На тему о делении существует чрезвычайно поучительный шуточный вопрос. Бабушка купила три картофелины и должна разделить их поровну между двумя внуками. Как быть? Ответ гласит: нужно сделать пюре.

Эта шутка, однако, вскрывает самую суть дела. Отдельные предметы неделимы в том смысле, что разделенный предмет почти всегда перестает быть тем, что он есть, как это ясно из примеров «трети человека» или «трети стрелы». Напротив, непрерывные и однородные величины или вещи легко делятся и складываются, не теряя своей сущности. Пюре как раз представляет прекрасный пример такой однородной вещи, которая хотя и не разделена, но зато легко делится практически на сколь угодно мелкие доли. Длины, площади, объемы обладают тем же свойством. Непрерывное по самому понятию и есть то, что не разделено в действительности, но неограниченно делимо в возможности.

Мы сталкиваемся, таким образом, с двумя противоположностями: с одной стороны, неделимые, отдельные, как говорят, дискретные предметы, с другой — вполне делимые, но не разделенные на части, а непрерывные вещи. Конечно, эти противоположности всегда соединены, ибо нет ни абсолютно неделимых, ни совершенно непрерывных предметов. Однако эти стороны предметов не только реальны, но часто в одних случаях решающей оказывается одна сторона, в других — другая.

Математика, отвлекая формы от их содержания, тем самым резко разделяет и эти формы — дискретное и непрерывное.

Математическим образом отдельного предмета служит единица, а математическим образом совокупности дискретных предметов служит сумма единиц. Это, так сказать, образ чистой дискретности, очищенной от всего остального, дискретность в ее чистом виде. Основным, исходным математическим образом непрерывности служит непрерывность геометрической фигуры, в простейшем случае — прямой линии.

Перед нами, стало быть, две противоположности: дискретность и непрерывность, и их отвлеченные математические образы: целое число и геометрическая протяженность. Измерение есть соединение этих противоположностей: непрерывное измеряется отдельными единицами. Но неделимыми единицами обойтись нельзя; приходится вводить дробные доли исходной единицы. Так возникают дробные числа; понятие числа развивается именно в результате соединения указанных противоположностей.

Рис. 3.

Дальше, на более абстрактной ступени появляется понятие о несоизмеримых отрезках и, как следствие, понятие действительного числа как отвлеченный образ неограниченно точного значения величины. Однако это понятие сложилось не сразу, и долгий путь его развития шел через борьбу тех же противоположностей дискретного и непрерывного.

Как уже было сказано, Демокрит представлял фигуры составленными из атомов и тем сводил непрерывное к прерывному. Однако открытие несоизмеримых отрезков заставило отказаться от такого представления. После этого непрерывные величины уже не составлялись из отдельных элементов — атомов или точек. Эти величины не выражались числами, так как иных чисел, кроме целых и дробных, в то время не знали.

Противоречие прерывного и непрерывного выступило в математике с новой силой в XVII в., когда закладывались основы дифференциального и интегрального исчисления. Здесь речь шла о бесконечно малых. В одних представлениях они мыслились как действительные, «актуально» бесконечно малые, «неделимые» частицы непрерывной величины, подобно атомам Демокрита, но теперь число их считалось бесконечно большим. Вычисление площадей и объемов — интегрирование — мыслилось как суммирование бесконечного числа этих бесконечно малых частиц. Площадь, например, понималась как «сумма линий, из которых она составляется» (рис. 3). Стало быть, непрерывное опять как бы сводилось к дискретному, но уже более сложным образом, на более высокой ступени. Но этот взгляд оказался неудовлетворительным, и, в противовес ему, в основном от Ньютона пошло представление о непрерывных переменных, о бесконечно малых как неограниченно убывающих переменных величинах.

Эта концепция ваяла верх, когда в первой половине XIX в. была создана строгая теория пределов. Теперь отрезок не составлялся из точек или «неделимых», но понимался как протяженность, как непрерывная среда, где можно лишь фиксировать отдельные точки, отдельные значения переменной величины. Математики так и говорили тогда о «протяженности». В единстве прерывного и непрерывного непрерывность стала опять господствующей.

Однако развитие анализа потребовало дальнейшего уточнения теории переменных величин и прежде всего общего определения действительного числа как любого возможного значения переменной величины. Тогда в 70-х годах прошлого столетия возникла теория действительных чисел, которая представляет отрезок как множество точек и соответственно промежуток изменения переменной — как множество действительных чисел. Непрерывность опять стала составляться из отдельных дискретных точек, и свойства непрерывности стали выражаться в строении совокупности составляющих ее точек. Эта концепция привела к громадным успехам математики и стала господствующей. Все же и в ней обнаружились свои глубокие трудности, которые породили попытки вернуться на новой ступени к представлению о чистой непрерывности; Намечаются также иные пути переделки представления об отрезке как множестве точек. Возникают новые точки зрения на понятия числа, переменной, функции. Развитие, теории продолжается, и нужно ждать его дальнейших шагов.

6. Взаимодействие арифметики и геометрии играло роль не только в создании понятия действительного числа. То же взаимодействие геометрии и арифметики, или, точнее, уже алгебры, сказалось также в утверждении в математике понятий отрицательных и комплексных чисел (т. е. чисел вида Отрицательные числа изображаются точками на прямой слева от точки, которая сопоставляется с нулем. Комплексные же числа изображают точками на плоскости. Именно это геометрическое представление укрепило в математике мнимые числа, которые до того оставались непонятными.

Понятие величины развивалось дальше: появились, например, векторные величины, которые изображают направленными отрезками, и другие, еще более общие величины (тензоры), в которых опять алгебра соединяется с геометрией.

Соединение различных математических теорий всегда играло и играет большую, порой решающую роль. Мы увидим это дальше на примерах возникновения аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления, теории функций комплексной переменной, новейшего так называемого функционального анализа и других теорий. В самой теории чисел, т. е. в учении о целых числах, с большим успехом применяются методы, связанные с непрерывностью: анализ бесконечно малых и геометрия, что породило обширные главы этой теории, называемые «аналитической теорией чисел» и «геометрией чисел».

С известной точки зрения в основе математики можно видеть сочетание понятий, исходящих из геометрии и арифметики, — общих понятий непрерывности и алгебраической операции (как обобщения арифметического действия). Но здесь мы не можем говорить об этих трудных теориях. Целью этого параграфа было создать хотя бы самое общее представление о взаимодействии понятий, о единстве и борьбе противоположностей в математике на примере взаимодействия арифметики и геометрии, на примере развития понятия числа.