Отыскание наибольших и наименьших значений функции.

В самых разнообразных технических вопросах бывает необходимо узнать, при каком х та или иная функция достигает наибольшего или наименьшего значения по отношению к данному отрезку.

В случае, когда надо найти наибольшее значение функции, речь идет об отыскании на отрезке точки для которой при всех из выполняется неравенство

Однако возникает принципиальный вопрос, существует ли вообще хотя бы одна такая точка. Средствами современного анализа можно доказать теорему существования: если функция непрерывна наконечном отрезке, то на нем существует по меньшей мере одна точка, в Которой функция достигает максимума (минимума) по отношению к отрезку

Из сказанного выше вытекает, что точки максимума и минимума следует искать прежде всего среди «стационарных» точек. На этом основывается следующий известный способ отыскания максимума и минимума.

Находим производную от и, приравняв ее нулю, решаем полученное уравнение

Если корни этого уравнения, то сравниваем между собой числа Конечно, надо еще учесть, что максимум и минимум может оказаться не внутри, а на краю промежутка для минимума на рис. 15) или в точке, где функция не имеет производной (как на рис. 12). Поэтому к точкам добавляют еще концы а и промежутка и точки, в которых нет производной, если такие точки есть. Остается, сравнив значения функции во всех этих точках, выбрать среди них наибольшее или наименьшее.

По поводу высказанной выше теоремы существования важно добавить, что она уже, вообще говоря, перестает быть верной в случае, если функция непрерывна только на интервале т. е. на множестве точек х, удовлетворяющих неравенствам а Предоставляем читателю разобраться в том, что функция — на интервале (0, 1) не имеет ни максимума, ни минимума.

Разберем примеры.

Из квадратного куска жести со стороной а требуется сделать прямоугольную открытую коробку наибольшего объема. Если мы из углов куска вырежем квадратики со стороной х (см. § 2, пример 2), то получим коробку объемом

Наша задача сводится к разысканию х, при котором функция достигает наибольшего значения на отрезке Согласно правилу, найдем производную и приравняем ее нулю

Решая полученное уравнение, найдем два корня

К ним еще присоединим левый конец отрезка, на котором задана функция (правый конец совпал с Сравним значения функции в этих точках

Итак, коробка будет иметь наибольший объем, равный при высоте

В качестве второго примера разберем задачу с фонарем (см. § 2, пример 3). На какой высоте надо повесить фонарь, чтобы конькобежная дорожка была максимально освещена?

В силу формулы (3) § 2 наша задача сводится к определению при котором принимает наибольшее значение. Вместо удобнее искать угол а (рис. 3 на стр. 87). Имеем

следовательно

Требуется найти максимум функции среди значений а, удовлетворяющих неравенству Найдем производную и приравняем ее нулю

Это уравнение распадается на два

Первое уравнение дает корень совпадающий с концом промежутка Второму уравнению можно придать вид

Но так как то Этой есть значение, при котором функция Т (а) достигает максимума (на концах промежутка функция меньше, так как там Искомая высота будет равна

Для наилучшего освещения льда фонарь должен быть поднят на высоту около

Допустим теперь, что имеющееся устройство не позволяет поднять фонарь на высоту, большую некоторого Н. Тогда угол а может изменяться не от 0 до у, а в более узких пределах: Пусть, например, . В этом случае фонарь действительно можно установить на высоте составляющей несколько более что и надо сделать.

Но если Н меньше (например, если для установки фонаря в нашем распоряжении есть столб длиной всего то окажется, что функция в промежутке не имеет равной нулю производной. В этом случае наибольшее значение достигается на краю промежутка, и фонарь следует поднять до. наибольшей имеющейся высоты

До сих пор мы рассматривали функцию на конечном отрезке. Если участок бесконечен, то даже непрерывная функция может не достигать в нем наибольшего или наименьшего значения, а все время, например, возрастать или убывать при стремлении х к бесконечности.

Так, например, функции (см. рис. 5, стр. 89), (рис. 16а), (рис. 16б) нигде не достигают ни максимума, ни минимума. Функция (рис. 16в) достигает максимума в точке

но нигде не достигает минимума. Что же касается функции (рис. 16 г), то она достигает минимума в точке и максимума в точке .

Рис. 16 а.

Рис. 16 б.

Рис. 16 в.

Рис. 16 г.

В случае бесконечного промежутка исследование ведется по обычным правилам. Только вместо следует рассматривать пределы