Идея сопоставления уравнениям с двумя неизвестными линий на плоскости.

Вторая идея Декарта следующая. До Декарта, в случае если имелось одно алгебраическое уравнение с двумя неизвестными говорили, что задача неопределенная, так как неизвестных этих нельзя из него определить хотя бы потому, что за одно из них, например за х, можно взять любое число и, подставив это число вместо х, получить уже одно уравнение с одним неизвестным у, которое, вообще говоря, из него и можно найти. И тогда это произвольно взятое х вместе с так полученным у

будет удовлетворять заданному уравнению. Поэтому такое «неопределенное» уравнение считали интересным.

Декарт посмотрел на дело иначе. Он предложил в уравнении с двумя неизвестными х считать абсциссой точки, а соответственное ему у — ее ординатой. Тогда, если менять непрерывно х, то для каждого из этих х вычисляется из уравнения свое вполне определенное у, и, следовательно, получается, вообще говоря, совокупность точек, образующих линию (рис. 2) 1.

Таким образом, всякому алгебраическому уравнению с двумя переменными соответствует некоторая вполне определенная линия на плоскости, а именно линия, представляющая собою совокупность всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

Рис. 1.

Рис. 2.

Это замечание Декарта открывало целую новую науку.