Задачи на максимум и минимум.

Если функция, скажем, двух переменных достигает точке максимума, т. е. если для всех точек близких к то эта точка должна также быть точкой максимального подъема для линии, полученной в сечении поверхности плоскостью, параллельной или Поэтому в такой точке обязательно выполняются условия

Те же условия должны выполняться и в точке местного минимума Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции следует искать прежде всего среди точек, в которых выполняются условия (39). (Кроме того, не следует забывать о точках на границе области задания функции и точках, где функция не имеет производной, если такие точки есть.)

Чтобы установить, является ли йайденная точка удовлетворяющая условиям (39), действительно точкой максимума или минимума, чаще всего пользуются различными косвенными соображениями. Например, если -либо известно, что функция дифференцируема и достигает минимума внутри области, а точек, где выполнены условия (39), там всего одна, то, очевидно, минимум именно в этой точке и достигается.

Пусть, например, требуется изготовить из жести прямоугольную коробку (без крышки) с данным объемом V, затратив возможно меньше материала. Если стороны основания этой коробки обозначить через то высота ее будет равна и, следовательно, поверхность S будет выражаться функцией

от х и у. Так как х и у по ходу задачи должны быть положительными, то вопрос свелся к отысканию минимума функции среди всевозможных точек заполняющих первую четверть координатной плоскости которую мы обозначим буквой

Если минимум достигается в какой-либо точке области G, то в ней должны равняться нулю частные производные

откуда и находим размеры коробки:

Мы поставленную задачу решили, однако не совсем обосновали решение. Строгий математик скажет нам: «Вы предположили с самого начала, что при заданных условиях коробка с минимальной поверхностью существует и, исходя из этого допущения, нашли ее размеры. Таким образом, пока вы собственно получили только такое утверждение: если в существует точка для которой функция S достигает своего минимума, то ее координаты необходимо должны определяться равенствами (41). Докажите же, что минимум S на существует, и тогда я признаю правильность вашего результата». Замечание это достаточно резонно, так как наша функция например, как мы скоро это увидим, максимума на области не имеет. Покажем же, как можно убедиться, что в данном случае наша функция действительно достигает в некоторой точке области своего минимума.

Рис. 29.

Основное утверждение, на котором мы при этом будем базироваться и которое доказывается совершенно строго в анализе, заключается в следующем. Если функция от одной или нескольких переменных непрерывна всюду на некоторой конечной области Н, ограниченной и содержащей свою границу, то в И всегда существует хоть одна точка, в которой эта функция достигает минимума (максимума). При помбщи этого утверждения нам уже не будет трудно до конца разобраться в нашем примере.

Зададим любую точку области пусть в ней Зададим, далее, число одновременно удовлетворяющее неравенствам и построим квадрат со стороной как на рис. 29, где

Оценим нашу функцию снизу в точках области расположенных вне квадрата Если точка области имеет абсциссу

Аналогично, если точка области имеет ординату также Далее, если точка области имеет абсциссу и расположена выше прямой или имеет ординату расположена правее прямой то

Таким образом, для всех точек области находящихся вне квадрата имеет место неравенство и так как то точка принадлежит квадрату и, следовательно, минимум нашей функции на равен минимуму ее на квадрате.

Но функция непрерывна внутри этого квадрата и на его границе, поэтому на основании сформулированного выше утверждения существует в квадрате точка где наша функция достигает минимума по отношению к квадрату, а следовательно, и в нашей области Этим существование минимума доказано.

Приведенные рассуждения служат примером того, как можно рассуждать при отыскании максимума или минимума функции, заданной на неограниченной области.