§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ

Способ Штурма в соединении с использованием границы, меньше которой не может быть разность. двух различных действительных корней позволяет произвести «отделение» действительных корней многочлена

с действительными коэффициентами, т. е. позволяет для каждого такого корня указать границы а и между которыми находится только один этот корень. Остается указать удобный способ для нахождения на отрезке а чисел которые возможно быстрее подходили бы все ближе и ближе к величине искомого корня, причем первые являлись бы его приближениями по недостатку, а вторые — по избытку. Каждое из двух приближений и отличается от искомого корня х, очевидно, меньше, чем на их разность так как корень лежит между ними. Таким образом, можно оценить, меньше чего заведомо будет погрешность, если остановиться на данном приближении.

График многочлена. Пусть задан многочлен степени с действительными коэффициентами

Рассмотрим линию, выражаемую в прямоугольных координатах уравнением т. е. график этого многочлена. Линию эту иногда называют параболой порядка. Во-первых, очевидно, что для любого действительного х имеется одно и только одно определенное действительное поэтому график простирается сколь угодно далеко и направо и налево. Кроме того, при непрерывном изменении х как так и изменяются непрерывно, т. е. без скачков. Поэтому график есть плавная линия.

Рис. 13.

Рис. 14.

При больших по абсолютной величине х первый член превышает по своей абсолютной величине сумму всех остальных членов, так как они все более низких степеней. Отсюда следует, что если — четное и то график и вправо и влево уходит на бесконечность кверху (а если то книзу); если же — нечетное и то оно уходит вправо кверху, а влево книзу (если то наоборот).

Точки пересечения графика с осью т. е. те точки, где Соответствуют действительным корням уравнения их не больше,

чем . В максимумах и минимумах графика производная следовательно, число всех максимумов и минимумов не больше, чем Если на некотором участке то на нем первая производная возрастает, т. е. график обращен своею вогнутостью кверху; если то он обращен вогнутостью книзу. Хотя бы уже потому, что некоторые корни могут быть комплексными, число максимумов и минимумов графика может быть и меньше, чем

Вот примеры графиков некоторых многочленов

Построив график многочлена, легко найти приближенно его корни. Именно, корни являются абсциссами точек пересечения графика с осью

Способ «недолета» и «перелета».

Подставим в многочлен какое-нибудь целое рациональное число, например 3, и будем затем подставлять Если при подстановке чисел 4, 5, 6 в результате получается еще тот же знак, как при подстановке числа 3, а при подстановке 7 — обратный, то ясно, что имеет между 6 и 7 хотя бы один корень. Теперь будем подставлять Так найдем два соседних из этой последовательности числа, например 6,4 и 6,5, которые при подстановке дают разные знаки. Значит, между ними имеется хотя бы один корень. Далее, подставляем и находим еще более тесные границы для корня, например 6,42 и 6,43 и т. д. Это — способ «недолета - перелета». Этот способ можно еще значительно упростить, применяя на каждом шаге вычисления дополнительное преобразование многочлена, и тогда на каждом шаге, кроме первого, придется только подставлять целые числа, а не дроби, и притом только целые числа Но мы не будем останавливаться на этом упрощении.

Способ касательных и способ хорд.

Способ касательных, называемый способом Ньютона, и способ хорд, или прямолинейного интерполирования, называемый также способом ложного положения используются либо раздельно, либо вместе для получения оценки погрешности. Пусть и между а и имеется только один действительный корень многочлена [знаки различны], и, кроме того, вторая производная везде между а и одного и того же знака. В таком случае часть графика между имеет один из четырех видов (рис. 15).

В случаях касательная к графику в точке с абсциссой а пересекает ось в точке с абсциссой лежащей между искомым корнем и а. Найдя абсциссу и рассмотрев далее касательную к графику в точке с абсциссой мы аналогично найдем точку лежащую между точкой и искомым корнем; далее аналогично найдем точку Так

будут получаться всё лучшие приближения с недостатком. Как видно из чертежа, значения эти очень быстро приближаются к искомому корню.

В случаях III и IV надо, наоборот, начинать с абсциссы тогда будут получаться точки т. е. все лучшие приближения по избытку. Какой из четырех случаев имеет место, легко определить по знакам для

Рис. 15.

Так как уравнение касательной к линии в точке ее с абсг циссой а есть

то абсцисса точки ее пересечений с осью получается из равенства

равной

Далее,

Аналогично

Это — сцособ Ньютона.

Способ, прямолинейного интерполирования, или ложного положения, состоит в следующем. Уравнение хорды, как ураввнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид

и абсцисса точки ее пересечения с осью получается из уравнения

равной

Приняв ее за новое в случаях и Я и за новое а в случаях. III и IV, мы находим в случаях I и II

В случаях III и IV принимаем за новое а и получаем

и т. д.

Особенно важно объединение обоих этих способов, ибо (как это видно на чертежах) оно позволявет, если известны приближения сверху и снизу, оценивать погрешность, которая, очевидно, не больше их разности, так как вычисляемый корень находится между ними.

Замечание. Важно заметить, что то обстоятельство, что именно многочлен, а на какая-либо другая функция от ни в способе Ньютона, ни в способе прямолинейного интерполирования не играет

никакой роли, т. е. оба эти способа и их объединение могут при вышеуказанных условиях применяться и для трансцендентных уравнений.

Способ Лобачевского.

Одним из самых распространенных, в настоящее время способов вычислений корней, в особенности комплексных корней, является способ х, предложенный Н. И. Лобачевским в его книге «Алгебра», вышедшей в 1834 г. Основная идея этого способа восходит еще к Бернулли.

Заметим, во-первых, что если дан многочлен, корни которого то легко написать многочлен той же степени, корнями которого будут , т. е. квадраты корней данного многочлена. Действительно, если — корни многочлена

он равен

многочлен же

корни которого — взятые с обратным знаком корни заданного многочлена, равен

Произведение этих двух многочленов есть, следовательно,

и потому содержит только четные степени Если в нем положить то мы получим многочлен степени от у

равный

т. е. такой, корни которого суть Вместо того, чтобы непосредственно умножать многочлен

на многочлен

можно получить коэффициенты по такой схеме. В первой строке над чертой пишутся а ниже, под чертой, под каждым из этих коэффициентов — сначала его квадрат затем минус удвоенное

произведение его соседей

затем плюс удвоенное произведение коэффициентов

симметричных множителю а, и т. д., знакочередуясь, пока все дальнейшие коэффициенты с той или иной стороны не будут равны нулю. Тогда коэффициенты получаются как суммы соответственных столбиков чисел, подписанных под чертой.

Получив так коэффициенты многочлена, корнями которого будут также получают коэффициенты многочлена, корнями которого будут квадраты корней многочлена

Далее, аналогично можно получить коэффициенты многочлена, корнями которого будут затем многочлена с корнями

Рассмотрим только основную идею способа Лобачевского, причем ограничимся, для простоты, тем случаем, когда все корни уравнения действительны и различны по абсолютной величине. Пусть

— самый большой по абсолютной величине корень, — следующий и т. д. Пусть — достаточно велико и многочлен

имеет своими корнями степени корней заданного многочлена, т. е.

Тогда в ряду чисел при больших каждое последующее число настолько меньше предшествующего, что в рассматриваемых выражениях для можно оставить только первое слагаемое, а суммой всех остальных слагаемых по отношению к нему пренебречь. Тогда мы получим приближенные формулы

или, деля их попарно друг на друга и извлекая корень степени, такие формулы для самих

Можно показать, что продолжать вычисление достаточно до того многочлена, коэффициенты которого, взятые со знаками — будут, с нужной степенью тонкости, квадратами соответственных коэффициентов предыдущего многочлена.

Подробное изложение способа Лобачевского можно найти в известной книге академика . Крылова «Лекции о приближенных вычислениях».

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

ОПЕЧАТКИ

(см. скан)